VOLUMEN 36, NÚMERO 1 | ENERO-JUNIO 2024 | PP. 105-125
ISSN: 2250-6101
DOIhttps://doi.org/10.55767/2451.6007.v36.n1.45316
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Un provocador problema de
electromagnetismo
A provoker problem of electromagnetism
Lorenzo M. Iparraguirre
1*
1
Facultad de Matemática, Astronomía y Física, Universidad Nacional de Córdoba, Medina Allende y Haya de la Torre.
Ciudad Universitaria, CP 5000, Córdoba, Argentina.
*E-mail: lorenzo.iparraguirre@unc.edu.ar, iparraguirre.lorenzomarcos@gmail.com
Recibido el 30 de mayo de 2023 | Aceptado el 7 de mayo de 2024
Resumen
Un desafiante planteo que hace el divulgador científico Derek A. Muller, con un circuito eléctrico muy simple pero muy curioso, es
elegido en función de su potencialidad para reflexionar sobre algunos aspectos básicos relacionados con la circulación de corriente.
Aunque el propósito del planteo de Muller es mostrar que en los circuitos eléctricos la energía viaja por el espacio conducida por el
campo electromagnético y no lo hace por los conductores, ese no es el tema de este trabajo, sino que se aprovecha el circuito
propuesto por Muller para reflexionar sobre aspectos básicos de la circulación de la corriente eléctrica. Específicamente se mostrará
cómo hallar la forma en que se inicia la circulación de la corriente, aprovechando las aproximaciones que este circuito permite hacer.
Aunque el planteo de Muller apunta a otros objetivos, pone de relieve el problema de que la forma en que se inicia la circulación de la
corriente en los circuitos es un tema que, debido a las dificultades matemáticas, no se profundiza ni en los niveles básicos ni en los
avanzados. En este trabajo se plantearán algunas preguntas que asaltan tanto a un profesor de física como a un experto cuando se ven
confrontados por el planteo de Muller, y se mostrará cómo se procede a la búsqueda de respuestas y se avanza gradualmente hasta
construir un panorama claro del proceso correspondiente a este circuito.
Palabras clave: Circuito RL; Electromagnetismo; Línea de transmisión; Onda de corriente; Campos en circuitos.
Abstract
A challenging proposal made by the scientific disseminator Derek A. Muller, with an electric circuit very simple but very curious, is
chosen based on its potential to reflect on some basic aspects related to the electric current circulation. Although the purpose of
Muller’s proposal is to show that in electrical circuits energy travels through space driven by the electromagnetic field and does not
travel through conductors, that is not the topic of this work, but rather the circuit proposed by Muller is used to reflect on other basic
aspects of the circulation of electric current. Specifically, it will be shown how to find the way in which the current circulation begins,
taking advantage of the fact that this circuit allows appropriate approximations. Although Muller’s approach aims to other objectives,
it highlights the problem that the way in which the circulation of current in circuits begins is a topic that, due to mathematical
difficulties, is not explored in depth either at the basic or advanced levels. In this work questions will be raised that assail both a physics
teacher and an expert when confronted with Muller’s proposal, and it will be shown how to proceed to search for answers and
gradually advance until building a clear overview of the process corresponding to this circuit.
Keywords: RL circuit; Electromagnetism; Transmission line; Electric current wave; Fields circuit.
I. INTRODUCCIÓN
En uno de sus videos en su página www.veritasium.com, titulado The big misconception about electricity, el
interesante divulgador Derek Alexander Muller plantea el siguiente problema (algunos números tienen cambios sin
importancia). Supongamos un circuito (eléctrico) con una lámpara, una batería como fuente de alimentación, y un
interruptor, pero con la particularidad de que la batería está muy cerca del interruptor, la lámpara a 1 m de distancia
de ambos, y los cables que la conectan con los terminales correspondientes de batería e interruptor son, además de
conductores ideales con resistividad estrictamente nula, extremadamente largos ambos: de 600000 km de longitud
cada uno, dispuestos de ida y vuelta a lo largo de alguna dirección rectilínea (figura 1).
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FIGURA 1. Ilustración del circuito propuesto. V indica la diferencia de potencial de la fuente, y R la resistencia del filamento de la
lámpara. Los conductores ideales extremadamente largos sirven para plantear interrogantes acerca del tiempo que demorarían los
procesos que tendrán lugar después de cerrar el interruptor I.
Y la pregunta que Derek formula es: ¿Cuánto tiempo después de cerrar el interruptor se encenderá la lámpara?
Con la siguiente oferta de opciones (que deben ser justificadas): a) 1 s; b) 2 s; c) 3 ns; d) 4 s; e) Otra.
Una aclaración que Derek formula (la cual desnuda un punto débil del planteo), es que el circuito tiene cierta
inductancia, la cual determinará que la corriente tienda a su valor final de régimen de manera asintótica con cierto
tiempo característico, y que se debe ignorar ese efecto para responder.
La respuesta correcta, según Derek, es la c). Lo cual además él muestra experimentalmente construyendo un
circuito en el cual los “brazos” de 300000 km se han reducido a 30 m. Con un osciloscopio de respuesta rápida él
muestra cómo la corriente comienza a circular por la lámpara unos pocos nanosegundos después de cerrar el
interruptor, mucho antes de los 100 o 200 ns que se esperarían si alguna señal tuviera viajar por los conductores desde
la fuente hasta la lámpara.
Aunque hay aspectos y detalles cuestionables del planteo, además de los asociados con los efectos de la
inductancia, Derek logra hacer un aporte importante a la idea de que la energía en el circuito no viaja por los cables
conductores, sino por el campo electromagnético.
Pero aceptar que la respuesta es c) nos enfrenta con un problema más desafiante que el planteado por Derek:
¿Cómo, exactamente, evoluciona la corriente en este circuito?
Este esencialmente es el problema que nos convoca en estas páginas, frente al cual nos encontramos sin respuesta,
no solamente los profesores, sino expertos con una preparación bastante más avanzada.
La noción que se enseña en general, útil para cualquier circuito de la vida cotidiana, es que aunque la nube de
portadores de carga (electrones usualmente) en general viaja con mucha lentitud (cm/s, o mm/s), su movimiento es
regulado por campos que se propagan con la velocidad de la luz y llegan con demoras indetectables a todos los puntos
del circuito, por lo cual determinan que la circulación de la corriente comience simultáneamente en todo el circuito.
Pero es claro que esta simultaneidad, o instantaneidad, no puede ser exacta o rigurosa. Algo debe demorar la “señal”
en llegar a las diferentes partes del circuito, por poco que sea. Y si se quiere penetrar en estos brevísimos intervalos
de tiempo, se encuentran tantas dificultades que en general el tema queda sin aclarar.
Este circuito tiene la virtud de que, por su forma y dimensiones, propone tiempos muy diferentes para la
propagación de señales en forma de ondas electromagnéticas ya sea directamente desde la fuente hasta la lámpara,
o ya sea a lo largo de los conductores por los que debe avanzar la corriente, y eso permite separar y aclarar ideas que
en los circuitos habituales se presentan confundidas. Por ejemplo la idea ingenua más simple podría ser: al cerrar el
interruptor la fuente hace que la corriente comience a circular, quitando electrones del lado derecho e impulsándolos
al izquierdo, constituyendo una corriente hacia la derecha con el aspecto mostrado en la figura 6, que se va
extendiendo con la velocidad de la luz simétricamente hacia izquierda y derecha (“onda de corriente”). Según esta
idea la respuesta debería ser la b), ya que a los 2 s ambos frentes de la onda llegarían a la lámpara desde izquierda y
derecha simultáneamente, haciendo que comience a circular corriente por ella.
Esta idea es simple pero ingenua, y para validarla habría que mostrar que los campos correspondientes cumplen
con las ecuaciones debidas (Maxwell). Y lo mismo es necesario para aceptar que c) es la respuesta correcta
(independientemente de lo que diga Derek).
Y para poder hacer esto debemos elaborar un plan de acción y no es claro cómo debe ser. De manera que resulta
razonable comenzar revisando cosas que sí sabemos, y ver cómo ellas nos guían en el análisis de los detalles que van
surgiendo, según se describe en los siguientes puntos:
II.- Revisión de lo conocido
Este es un primer paso indispensable para tratar cualquier caso difícil. Consiste en revisar las situaciones conocidas,
analizando los detalles que interesan para las dos situaciones típicas: antes de cerrar el interruptor, y en régimen,
suficiente tiempo después de cerrar el interruptor. Se termina revisando la situación que correspondería si el circuito
tuviera un tamaño razonable.
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III.- Un intento de análisis del proceso inicial
En este punto se analiza qué puede ocurrir en los instantes posteriores al cierre del interruptor, y se logra mostrar
que rápidamente se llega a tener campos que se propagan de manera muy similar a los de una onda electromagnética
básica en una línea de transmisión constituida por dos conductores rectilíneos paralelos. Este hallazgo lleva
rápidamente a un planteo formal en el último punto.
IV.- Planteo formal final
A partir de lo hallado en el punto anterior se puede generar el planteo que completa la resolución de todo el
problema, y se consigue así finalmente determinar los detalles importantes del crecimiento de la corriente en este
circuito.
II. REVISIÓN DE LO CONOCIDO
A. Antes de cerrar el interruptor
Antes de cerrar el interruptor, todo el conductor, desde el borne positivo de la fuente, hasta el borne del interruptor,
en ambas ramas del circuito, incluyendo el filamento de la lámpara, está al mismo potencial (
Φ
+
). Solamente es
negativo el borne negativo de la fuente y el muy corto conductor que lo une al interruptor.
Ahora bien, dado que la carga total (neta) de todo el circuito es nula, se tiene que la fuente es capaz de suministrar
cierta cantidad de carga Q al borne positivo (que forma parte del conductor que constituye el circuito), habiéndola
quitado al negativo (que forma parte del conductor que conecta con el interruptor). Así es que este conductor
(llamémoslo “interior”) tendrá localizada en su pequeña extensión la cantidad –Q de carga, mientras que el
extensísimo circuito restante (llamémoslo “exterior”) tendrá la cantidad total +Q. Esta carga positiva del circuito
exterior se acumulará preponderantemente en la zona cercana al interruptor (debido a la atracción electrostática), es
decir, acumulándose cierta cantidad Q
F
en la cercanía del borne derecho de la fuente, y aproximadamente Q
I
Q –
Q
F
, en la cercanía del otro extremo del conductor (borne izquierdo del interruptor). De manera que, en una primera
aproximación los bornes de la fuente tendrán cargas (–Q
F
, Q
F
), y los bornes del interruptor (Q
I
,–Q
I
).
Y afinando un poco la aproximación, las cargas en los bornes de la fuente serán (–Q
F
, Q’
F
), y en los bornes del
interruptor (Q’
I
,–Q
I
), con las Q’ levemente menores que las respectivas Q, para tener en cuenta la pequeña diferencia
que queda distribuida a lo largo de todo el circuito. Es decir: Q = Q
F
+ Q
I
= Q’
F
+ Q’
I
+
δ
Q: carga movilizada por la fuente.
–Q = –Q
F
–Q
I
: carga del conductor interior
δ
Q = Q
F
– Q’
F
+ Q
I
– Q’
I
: carga distribuida en el conductor exterior fuera de
la zona de la fuente y el interruptor.
Debido a la enorme extensión del circuito es claro que la densidad superficial de carga y con ella el campo eléctrico)
en la zona lejana es absolutamente despreciable frente a la que existe en la zona de la fuente y el interruptor (en
adelante zona “F-I”).
Podría pensarse que posiblemente en la zona de la lámpara la proximidad de las cargas de la zona F-I podría inducir
cargas de intensidad no despreciable. Para ver que no es así hay que considerar que la lámpara está a 1 m de distancia
del conductor interior, que tiene carga –Q y está flanqueado por las cargas Q’
I
y Q’
F
, a una distancia pequeña
(consideraremos la zona F-I como una esfera de 10 cm de radio dentro de la cual la fuente y el interruptor están
ubicados aproximadamente de la manera mostrada en la figura 2). Así es que si solamente estuviese la carga –Q del
conductor interior en el punto central, el campo llegaría a la zona de la lámpara debilitado en un factor 100 respecto
del que hay a 10 cm. Pero esta carga está flanqueada por las cargas próximas Q’
I
y Q’
F
, que contrarrestan gran parte
de este campo, resultando que, como se muestra en el Apéndice 1, el campo en la zona de la lámpara es menor que
la fracción 10-6 del campo en la zona F-I. De manera que solamente existe campo eléctrico apreciable en la zona F-I,
como se ilustra esquemáticamente en la figura 2.
FIGURA 2. Ilustración muy esquemática del campo electromagnético (exclusivamente eléctrico en este caso) antes de abrir el
interruptor. No hay carga significativa, excepto en la zona F-I.
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B. En régimen, suficiente tiempo después de haber cerrado el interruptor
Esperando suficiente tiempo después de cerrar al interruptor se llega al estado de régimen, en el cual circula la
corriente de valor i = V/R a lo largo de todo el circuito. Ahora todo el conductor de la mitad derecha tiene el mismo
potencial Φ
+
del borne positivo, y el de la mitad izquierda tiene el potencial Φ
-
del borne negativo. Así la diferencia de
potencial entre los bornes de la lámpara es Φ
+
- Φ
-
= V. Además hay un campo magnético B cuyas líneas circulan
alrededor de los conductores según la Ley de Ampere, y que en la figura 3 se indican perpendicularmente al plano del
papel.
FIGURA 3. Circuito en régimen. El campo eléctrico solamente tiene valores apreciables en la zona media de la figura. El magnético
existe y mantiene sus características en toda la enorme extensión horizontal.
Razonamientos similares a los del punto anterior nos permiten afirmar que el campo eléctrico es apreciable
solamente en la zona media: zona F-I, y zona de la lámpara – y que es muy similar en ambas zonas.
Como detalle de color vale notar que imaginando el producto vectorial ExB es posible visualizar las líneas de flujo
de la energía, en la zona central, desde la fuente hasta la lámpara. Este detalle: mostrar que la energía en general no
viaja por los cables, es el que motiva a Derek para plantear su problema, pero no es importante para nosotros, por lo
que no insistiremos en él. El lector interesado puede buscar en cualquier texto de electromagnetismo (por ejemplo
Zangwill, 2012; Skilling, 1975; Jackson, 1962) el “vector de Poynting” S = (1/μ
0
) ExB, que en casos como este representa
la densidad de flujo de potencia.
C. Qué diríamos si el circuito tuviera un tamaño razonable
Si el circuito fuese algo como un cuadrado de 1 m de lado, diríamos que al cerrar el interruptor hay alguna señal que
se propaga con “ciertos campos electromagnéticos” (eufemismo para decir que seguramente son esencialmente
eléctricos, con alguna contribución magnética, y que no sabríamos describir bien su configuración) con velocidades
cercanas a la de la luz, de manera que en algunos nanosegundos llegan a todo el circuito y determinan el movimiento
“prácticamente simultáneo” de la carga en todo el conductor.
“Prácticamente simultáneo”, entre comillas, significa que no pretendemos algo más fino que unos pocos
nanosegundos, pero que a todos los fines prácticos eso puede considerarse instantáneo.
Considerando un circuito “RL” (resistencia e inductancia en serie) en esta aproximación se obtiene la función i(t)
que indica cómo, “simultáneamente” en todo el circuito, la corriente crece desde cero hasta tender asintóticamente
al valor final según la expresión:
( )( )
−
−=
t
exp1
R
V
)t(i
(1)
con =L/R.
La inductancia L de una espira rectangular de lados h y H es difícil de calcular exactamente, pero una expresión
aproximada que podemos usar en este caso para obtener órdenes de magnitud es (Zangwill, 2012):
( ) ( )( )
210
kh/slnkHμL +
(2)
donde s es el radio del conductor, H el lado mayor, μ
0
= 4πx10
-7
N/A
2
, y k
1
, k
2
, constantes numéricas del orden de 1.
Aplicando a un circuito con h ≅ H ≅
1 m, y s ≅ 1mm, V = 10 V, R = 5 Ω (valores que, excepto H, mantendremos
para todo este trabajo), se puede tomar k
1
= 2, k
2
= 1, y se obtiene L 6x10
-6
Hy, con lo cual: τ 1,2 μs = 1200 ns. Este
es un tiempo característico suficientemente grande como para que podamos seguir considerando “instantáneo” lo
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que ocurre en pocos nanosegundos, y describir con tranquilidad cómo el valor i(t) que la corriente tiene
“simultáneamente” en todo el circuito, va creciendo hasta su valor final.
Vale saber que para el circuito de nuestro problema, con los valores propuestos, y gracias a que un lado (de
longitud 2H) es muchísimo más largo que el otro, una expresión mejor de la inductancia se obtiene fácilmente de la
expresión básica L = (flujo magnético)/i, y es la siguiente.
( )
= h/slnHμ2L
0
(2´)
y arroja el valor: L ≅ 1660 Hy para nuestro caso, con lo cual τ sería de cerca de 330 segundos.
Ahora bien, la ecuación (1) es consecuencia de la Ley de Ohm, la Ley de Inducción de Faraday, y la Ley de Ampere.
La ley de Ohm describe cómo los conductores metálicos permiten el flujo de cargas en condiciones típicas. La Ley de
Inducción de Faraday indica que el crecimiento del flujo del campo magnético (Φ
B
) a través de la espira, induce un
campo eléctrico con circulación en sentido contrario a la corriente, según la expresión: dΦ
B
/dt = - circulación del
campo E
Para nuestros fines esta expresión puede ser mejor escrita para cada punto por unidad de área, teniendo en cuenta
que la circulación de E a lo largo del contorno de una superficie, por unidad de área, es la componente normal a la
superficie de lo que se llama rotor del campo ( ). De manera que, luego de las manipulaciones usuales (Zangwill,
2012; Skilling, 1975; Jackson, 1962) se tiene:
t
−=
B
E
(3)
Por otra parte la Ley de Ampere indica cómo circula el campo magnético alrededor de conductores que conducen
corriente eléctrica en condiciones estacionarias, y, luego de las mismas manipulaciones mencionadas en el párrafo
anterior, siendo j el vector densidad de corriente, puede ser escrita como:
jB
0
=
(4´)
expresión que es una parte de:
t
c
1
2
0
+=
E
jB
(4)
la cual es otra Ecuación de Maxwell (que puede considerarse la “pareja” de (3)).
De manera que es interesante notar que las ecuaciones (1) y (4’) describen una situación irreal en el circuito de la
figura 4, con un campo magnético que “sigue” a la corriente sin demoras (es decir varía simultáneamente con ella
independientemente de la distancia), mientras la corriente tiene el mismo valor en cada instante en todo el circuito.
Y este comportamiento irreal se podría obtener despreciando el término (1/c
2
)∂E/∂t en las Ecuaciones de Maxwell (lo
cual parece razonable cuando la variación temporal es suficientemente lenta).
FIGURA 4. Circuito cuadrado de 1 m de lado, algunos cientos de nanosegundos después de cerrar el interruptor. La corriente puede
considerarse igual en todo el circuito en cada instante, creciendo según la expresión (1). La corriente es la misma en todo el circuito,
pero la diferencia de potencial aún es bastante menor a los bornes de la lámpara que de la fuente, y por ello también la densidad
superficial de carga sobre los conductores y el campo eléctrico en la zona.
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Ahora bien, no encararemos la tarea de mostrar que en las condiciones de la figura 4 el término (1/c
2
)∂E/∂t puede
despreciarse en las Ecuaciones de Maxwell. Nos limitaremos a destacar que ese término es el que transforma una
evolución irreal en una real, introduciendo la propagación de los campos y la evolución correspondiente a los primeros
instantes (fracciones de nanosegundo). Pero mostrar formalmente eso es precisamente el problema que no sabemos
resolver, y que veremos que es más accesible en las condiciones geométricas de la figura 1, en las cuales es claro que
cualquier señal puede llegar en nanosegundos desde la fuente hasta la lámpara, y no a los extremos lejanos del
circuito. En estas condiciones podemos pensar que la corriente comienza en la fuente, pero es claro que ya no
podemos pensar en que evoluciona simultáneamente.
Y nos surgen interrogantes bastante difíciles de responder y hasta de entender, que son aspectos inevitables del
problema que hemos encarado:
¿Cómo es la corriente que comienza en la fuente? ¿Debemos esperar un par de segundos hasta que llegue a la
lámpara, o puede comenzar corriente en la lámpara a los pocos nanosegundos de cerrado el interruptor, al llegar los
campos electromagnéticos a ella?
De ser así, ¿cómo es la corriente que comienza en la lámpara? ¿Tiene relación con la que antes comenzó en la
fuente? ¿Tiene sentido pensar en dos corrientes aisladas en dos tramos del circuito? ¿Y cómo se llega de estas
corrientes aisladas, a una circulación en todo el circuito?
La consideración de estas cuestiones básicas nos sugiere los primeros pasos a dar: parece necesario comenzar
analizando la forma en que puede iniciarse la circulación de la corriente al cerrarse el interruptor, y cómo se puede
propagar la onda electromagnética generada por el correspondiente disturbio de cargas.
III. UN INTENTO DE ANÁLISIS DEL PROCESO INICIAL
Comenzamos con el circuito de la figura 1. El interruptor está abierto. Hay campos eléctricos en la zona F-I, cuyas
líneas nacen y mueren en distribuciones superficiales de carga que hay en la zona. Todos estos campos y distribuciones
de carga se debilitan suficientemente con la distancia como para poder plantear que a 1 m de distancia son
prácticamente nulos: aceptamos que no hay campos ni cargas netas en la zona de la lámpara.
El cierre del interruptor hace desaparecer bruscamente las cargas en sus contactos, anulando el dipolo que había
allí, y permite que la carga comience a fluir a través de la fuente.
Ahora bien, como se explica en el Apéndice 1, el dipolo existente en el interruptor es exactamente opuesto al que
existe en los bornes de la fuente (llamémoslos D
I
y D
F
respectivamente), D
I
contrarresta gran parte del campo generado
por D
F
, y antes de t = 0 este conjunto es tan incapaz de generar campo en la zona de la lámpara como si no existiese.
Podría decirse que la desaparición del D
I
equivaldría a la aparición de su opuesto: D
F
. Pero en principio ya sabemos
que el D
F
solo tampoco produciría un campo apreciable en la zona de la lámpara. Claro que hay que considerar el
detalle de que un D
F
que aparece en t = 0, no es lo mismo que un D
F
estático: es un dipolo que pasa bruscamente de
cero a cierto valor.
Y una idea importante es que el campo estático producido por un dipolo fijo aislado es fácil de calcular, pero no es
lo mismo que el campo de un dipolo aislado que varía en el tiempo. Un dipolo aislado que varía en el tiempo irradia
un campo dipolar de radiación bastante parecido en su forma, aunque no tan fácil de calcular. No solamente tiene
campo eléctrico, también tiene parte magnética (generada por la variación temporal según las Ecuaciones de
Maxwell). El campo dipolar de radiación solamente es fácil de calcular a distancias mucho mayores que el tamaño del
sistema dipolo, en la zona llamada “de radiación”, en la que tiene la importante particularidad de que se debilita
solamente con la primer potencia de la distancia, haciendo prontamente despreciables los campos estáticos.
De manera que una primera idea simplificatoria es que la brusca anulación del D
I
irradiará campos de tipo dipolar
que podrían no ser despreciables al llegar a la lámpara.
Pero resulta que además deberemos considerar que todo ocurre en presencia de los conductores metálicos que
van a influir modificando fuertemente la situación. Es decir, el campo de radiación de un dipolo puntual aislado que
aparece bruscamente, es un campo típico cuya descripción puede ser hallada en cualquier texto de
electromagnetismo, pero no es exactamente lo que nos interesa. Nos da pautas útiles solamente para comenzar, y no
más, porque nuestro problema consiste encontrar cómo resulta el movimiento de las cargas bajo el condicionamiento
que imponen los conductores de nuestro circuito. Condicionamiento que, inicialmente consiste en el hecho ya
mencionado de que el cierre del interruptor, además de anular D
I
, permite que comience la circulación de cargas a
través de la fuente.
Tratemos de visualizar cualitativamente los campos de interés, comenzando con un dipolo estático muy simple, y
variaciones útiles del mismo.
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FIGURA 5. Casos de campos dipolares estáticos. a) dos cargas puntuales de signo opuesto. b) Las cargas son los bornes de una
fuente con diferencia de potencial V. El interior de la fuente es una zona en la que hay fuerzas no electromagnéticas que cancelan
las del campo eléctrico. c) La fuente tiene conectados cables conductores a cada borne, sobre cuya superficie también se acumula
carga estática.
En la figura 5 se muestran esquemáticamente campos eléctricos estáticos de características típicamente dipolares,
que pueden interesarnos en este problema. El caso básico, único que es estrictamente un dipolo, es el a), en el cual
hay dos cargas puntuales de igual módulo y signo opuesto separadas por cierta distancia. En la variante b) la
separación de las cargas de signo opuesto se ha producido por acción de una fuente capaz de impulsar la circulación
de corriente eléctrica, aplicando fuerzas hacia la izquierda a los electrones, que son los portadores de carga móviles
capaces de constituir la corriente eléctrica. Estas fuerzas que aplica la fuente no son de naturaleza electromagnética,
y tienen el efecto de cancelar las fuerzas que el campo eléctrico aplicaría en su interior (estas atraerían los electrones
hacia el borne positivo anulando campo y dipolo). En la variante c) se destaca el hecho de que si hay conductores
(rectilíneos en este caso) conectados a los bornes, la carga se distribuye por la superficie de los mismos de manera de
que cada uno tiene el valor del potencial del borne correspondiente (así, entre otras cosas, el campo eléctrico debe
nacer perpendicularmente de la superficie en cada lugar).
La forma exacta en la que la densidad superficial de carga se distribuye a lo largo de cada conductor en el caso 5.c)
es muy difícil de calcular, pero es posible mostrar que es mayor en el extremo cercano a la fuente, bastante constante
a lo largo del conductor, y tiene otro aumento en el extremo lejano (ver Apéndice 2). Aunque es difícil de creer, si los
conductores son muy largos la densidad de carga no disminuye sensiblemente con la distancia, y conductores
infinitamente largos agotarían la energía disponible de cualquier fuente.
Pero ese no es el caso que nos interesa: al estar el conductor cerrado formando un circuito, tenemos la situación
ya explicada en II.1, con la carga acumulada en los bornes de la fuente y del interruptor, en una cantidad muy pequeña,
limitada por la capacidad de la superficie de ambos.
De manera que, considerando para comenzar que solamente existiesen los dos conductores rectilíneos de longitud
H unidos a la F-I, tendríamos que el cierre del interruptor inicia el proceso de movilizar carga (quitándola de uno de
los conductores para suministrársela al otro), resultando cierta densidad superficial de corriente extendiéndose
gradualmente sobre ambos conductores, lo cual debería ocurrir con una cierta velocidad de propagación, en principio,
la de la luz. Finalmente se llegaría a una a situación con carga superficial y campo electrostático similar al ilustrado
esquemáticamente en la figura 5.c. Pero en cada instante t en el cual la carga hubiera llegado hasta una distancia
d(t) < H en los dos sentidos, se tendría que la carga estaría fluyendo, y habría, además de carga, corriente eléctrica y
campo magnético.
Nos damos cuenta ahora de que ya no estamos en la situación de considerar el campo de radiación de un dipolo
de dimensiones despreciables que varía en tiempo, sino que tenemos una distribución de cargas de características
dipolares que se va extendiendo en el espacio de manera que sus dimensiones nunca son despreciables. Y en los
lugares z = ± ct a los cuales va llegando la onda de corriente (ubicamos un sistema de coordenadas con origen en la
fuente y eje z a lo largo del conductor), en ese instante t se está produciendo una variación brusca de corriente que
es también fuente de radiación. Es decir que lo que podemos saber del campo dipolar de radiación solamente nos ha
servido como una guía cualitativa inicial para un primer intento de razonamiento.
Ahora estamos en condiciones de un segundo intento mejor orientado, que será definitivo.
Consideremos que en los primeros instantes luego de que en t = 0 se cierra el interruptor, comienza a circular por
la fuente cierta intensidad de corriente, i, que se va extendiendo por los conductores adyacentes de tal manera que
en cada instante dado por un valor pequeño de t, i existe en la zona dada por: –ct < z < ct , como se ilustra en la
figura 6.
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FIGURA 6. Ilustración cualitativa de la situación en un instante t, suponiendo que el interruptor se ha cerrado en t = 0. Los campos
B se ilustran entrantes o salientes de la página, y los campos E con líneas en el plano de la misma. En línea de trazos la superficie
esférica de radio c t, a la cual está llegando el frente de ondas con los campos E y B. El producto vectorial ExB indica la marcha radial
saliente de la onda.
En la figura 6 se ilustra la situación en un instante t, suponiendo que en t = 0 se ha cerrado el interruptor, y que
ningún campo puede haber llegado más allá de d = c t. Para comenzar un planteo simplificado, se considera una
distancia d relativamente pequeña (mayor que las dimensiones del sistema F-I, pero menor que h), y se supone el
valor de la corriente aproximadamente constante en el intervalo –ct < z < ct para esos primeros instantes.
Sin intentar un cálculo formal, podemos hacer la siguiente descripción cualitativa de los campos en esta situación
(ver detalles en Apéndice 3). La corriente i en primera aproximación no está variando en el tiempo en la zona entre –
ct y +ct: solamente está variando en los extremos de esa zona (es decir en z = ± ct), en donde está pasando de 0 al
valor final. En esta aproximación el campo B tampoco está variando temporalmente en la vecindad del conductor, y
solamente lo está haciendo en la superficie esférica cercana a d = c t. En esa zona la ecuación (3) (∇×E = -∂B/∂t) da
cuenta de que E es nulo para d > ct. En esa superficie esférica (en la cual no hay j) también la ecuación (4) (que se
transforma allí en ∇×B = (1/c
2
)∂E/∂t) da cuenta de que E está creciendo (como consecuencia de que está apareciendo
donde previamente no existía).
Es decir, como se muestra formalmente en el Apéndice 3, la superficie esférica de radio ct es un frente de onda
que transporta los campos hacia fuera. El hecho de que el campo B se mantenga aproximadamente constante en el
tiempo en los puntos interiores, da cuenta de que el campo eléctrico que queda allí es aproximadamente irrotacional,
como corresponde a casos estáticos.
Por otra parte, en la vecindad del conductor, en la zona r < ct (siendo r la coordenada radial de un sistema esférico
centrado en la fuente), al no estar variando apreciablemente los campos, la ecuación (4) se transforma en la ley de
Ampere y establece la misma relación entre el campo y la corriente que en cualquier circuito de CC.
Toda esta descripción tiene el punto débil de no ser rigurosamente exacta (más detalles en Apéndice 3), pero es
razonable pensar que en los primeros instantes, hasta que el valor de ct alcance algunos metros, por ejemplo, podría
constituir una buena aproximación. Es importante saber que el problema de encontrar exactamente campos y
corrientes en el caso que estamos tratando: fuente que comienza a alimentar a un único conductor rectilíneo infinito,
es enormemente complicado y no trataremos de resolverlo, porque, como veremos enseguida, la presencia del
conductor paralelo cercano lo simplifica decisivamente y lo transforma en el problema accesible que estamos
presentando.
De manera que ahora agreguemos a la figura anterior el segundo conductor con la lámpara a 1 m de distancia
cuando el frente de onda llega a él.
FIGURA 7. Los campos llegan al segundo conductor. Impulsan en él la corriente i’ que produce la carga superficial necesaria para
que las líneas de E terminen y nazcan en ella perpendiculares a la superficie.
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Cuando el campo eléctrico alcanza al segundo conductor se deforma para que sus líneas terminen en el mismo.
Esto significa que se induce la correspondiente densidad superficial de carga en este conductor, a ambos lados de la
lámpara, negativa en el lado derecho, y positiva en el izquierdo. Solamente el conductor de la resistencia R admite
campo eléctrico que puede penetrar en su interior impulsando la corriente i’. Este campo eléctrico dentro de la
resistencia se debe tanto al campo de la onda, como a las cargas de signos opuestos inducidas a su derecha e izquierda.
Y todos esos hechos determinan que esta corriente i’ va extendiéndose hacia izquierda y derecha a medida que avanza
el frente de ondas desde la fuente.
En principio es razonable considerar que tanto la densidad superficial de carga inducida en este segundo
conductor, como la corriente i’ en el mismo, deben ser mucho menores que las correspondientes densidad y corriente
en el conductor de la fuente, porque el campo eléctrico del frente de ondas es mucho más débil allí, que sobre el
conductor de la fuente. Pero de cualquier manera es claro que la presencia tanto de la carga como de la corriente
inducidas en este conductor, tienden a disminuir drásticamente los campos más allá de él, ya que, por ejemplo, gran
parte de las líneas de campo eléctrico deben terminar en la carga inducida en vez de continuarse. También el campo
magnético se verá en cierta forma imposibilitado de cruzarlo, ya que en la zona más allá de este segundo conductor,
él será dominante en este campo.
Por otra parte, esta corriente que se inicia en el segundo conductor es fuente de radiación a su vez, y al cabo del
tiempo correspondiente comienza a influir sobre el movimiento de las cargas en el primer conductor. Y a medida que
el frente de ondas se aleje varios metros de la fuente, la distancia al segundo conductor resultará relativamente cada
vez más pequeña, y todos los valores de campos, corrientes y densidades de carga (salvo signos) tenderán a igualarse
entre ambos conductores. Esto se entiende observando los campos en la figura 8.
FIGURA 8. Izquierda: ilustración de la situación cuando la onda ya ha llegado a muchos metros de la fuente. Derecha: campos
(eléctrico: líneas continuas; magnético: línea de trazos) en un plano perpendicular a los conductores en la zona a la derecha de la
fuente.
Muy lejos de la fuente en la zona de los conductores, los campos están en planos perpendiculares a los mismos, y
como se puede inferir de la figura, todas las líneas de campo eléctrico que nacen (o mueren) en el conductor inferior
deben morir (o nacer) en el superior. Eso significa que la densidad lineal de carga en ambos conductores debe ser la
misma con signo opuesto; lo cual también puede inferirse de la idea de que entre dos conductores muy largos
paralelos muy próximos, la carga de uno debe inducir, por atracción, la misma cantidad de carga opuesta en el otro
(esto resulta claro si se piensa, por ejemplo en que, cuando la onda haya avanzado algunos km, se tendrán dos cables
que se pueden considerar casi infinitamente largos comparados con su separación, y aún quedan centenares de miles
de km para ser llenados de carga y corriente de la misma forma). Eso obliga a que la corriente sea la misma en ambos
conductores, y lo que tenemos es algo perfectamente conocido y clasificado en el capítulo de Guías de Onda de
cualquier texto de electromagnetismo: tenemos dos ondas TEM (de campos eléctrico y magnético transversales)
propagándose una hacia la izquierda de la fuente, y otra hacia la derecha, cada una a lo largo de una guía de ondas
que es una línea de transmisión constituida por dos conductores rectilíneos paralelos (Zangwill, 2012; Skilling, 1975).
Ahora bien, la corriente en el conductor inferior comienza antes de que el frente de ondas llegue al otro conductor,
con un valor que por lo tanto, no depende de la presencia de este ni de la resistencia R, y que es influido por los
detalles geométricos de la fuente y el interruptor que no se pretende conocer. Es importante entender que antes de
cerrar el interruptor hay en los conductores de la región F-I una distribución superficial de carga capaz de generar el
campo eléctrico que corresponde a la diferencia de potencial V de la fuente, y que influye en la corriente inicial en la
zona de alguna manera. Pero a medida que la corriente avanza fuera de esa zona, queda descripta razonablemente
por el modelo que se ha presentado (más detalles en Apéndice 3).
Por otra parte, la corriente en el conductor superior se inicia en la resistencia con 3 ns de demora. A medida que
la onda se aleja por la “línea de transmisión”, las interacciones mutuas obligan a la igualación de los valores absolutos
de la carga y la corriente en ambos conductores, uniformándose los valores de carga y corriente en ambos.
La relación entre los valores de los elementos intervinientes puede establecerse para un instante t, integrando el
campo eléctrico a lo largo del circuito rectangular indicado por los puntos b b’c’c d d’a’a que se muestran en la figura 9.
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FIGURA 9. Circuito rectangular bb’c’cdd’a’a (que encierra una zona en la que el campo B es constante en el tiempo), para calcular
diferencias de potencial.
Es decir, se parte desde el borne positivo de la fuente, b, hasta cualquier punto b’ del conductor, en z
b
’ < c t, desde
allí, a lo largo de una línea de campo E hasta el segundo conductor, en c’, desde allí pasando por la resistencia hasta
d’ en z
d’
= -z
b’
, desde allí hasta el primer conductor en la misma abscisa, y desde allí hasta el borne negativo a.
De esta manera (considerando el valor de la corriente en el conductor superior ya uniformado e igualado al del
conductor inferior: i’ = i) el circuito no encierra variación del flujo magnético, y (como consecuencia de la ecuación de
Maxwell (3)) se tendrá
•−−•−=
d'b'
zporzpor
ba
dRid rErE
(5)
Así es que la diferencia de potencial a los bornes de R será:
−
•−==−
s
rE
h
s
dc
d2VRi
(6)
donde s es el radio de cada conductor.
El hecho de que la integral planteada sea mayor que cero muestra que la diferencia de potencial a los bornes de R
será menor que V, aunque la corriente haya igualado su valor en los dos conductores. Y además esta expresión nos
permitirá relacionar el valor de la corriente con el de los campos y las demás variables.
Y habiendo llegado a este punto advertimos que los razonamientos especulativos sobre lo que podía suceder nos
han llevado a un terreno en el que estamos en condiciones de plantear cálculos concretos para resolver formalmente
el resto del problema.
IV. PLANTEO FORMAL FINAL
Lo que hemos descripto es la propagación de dos ondas TEM similares desde el origen (dejando de lado detalles
específicos de la fuente), una hacia la izquierda y otra hacia la derecha, en una línea de transmisión constituida por
dos conductores paralelos rectilíneos muy largos.
A continuación desarrollaremos para el lado derecho la obtención de todos los detalles de interés aplicando
explícitamente las Ecuaciones de Maxwell. Lo que sucede en el lado izquierdo, como hemos visto, para cada variable
es igual o simétrico.
Subdividiremos el procedimiento en 4 pasos.
1.- A partir de una situación previa sin cargas ni corrientes, en t = 0 consideramos que se inicia una corriente de
cierto valor i
0
hacia la derecha en el conductor inferior, y hacia la izquierda en el superior (según todas las
consideraciones que hemos estado analizando el proceso en el conductor superior se inicia con cierta demora, pero
rápidamente se llega a la situación que ahora estamos tomando como punto de partida válido).
Es importante entender lo que significa el viaje de una onda de corriente: aunque en el conductor superior la
corriente es hacia la izquierda, el borde de la zona ocupada con esta corriente viaja hacia la derecha.
Es decir, la corriente como función de (z ,t) estará dada a través de una función u(z ,t) tal que i = i(u), siendo:
Región z>0 (onda viaja hacia la derecha):
u =
c t – z
(7)
Región z<0 (onda viaja hacia la izquierda):
u =
c t + z
(7’)
Conductor inferior/superior:
i
(inf/sup)
(u) =
(+/-) i(u)
(7’’)
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FIGURA 10. Gráfica de i(u): no hay corriente si u < 0 (es decir, ⎪z⎪ > ct).
La figura 10 muestra la función i(u) que corresponde con lo que hemos descripto. El valor de a es la distancia en la
cual la onda pasa desde i = 0 hasta su valor final i = i
0
, según alguna función i(u) adecuada. Es importante saber que
tanto el valor de a como la forma de la función i(u) son absolutamente arbitrarios. Es decir, para nuestro problema
nos interesa considerar una onda de corriente con la forma de “escalón” mostrada en la figura 10, pero veremos a
través de cálculos explícitos que en la línea de transmisión constituida por dos conductores ideales rectilíneos infinitos
se puede propagar indefinidamente y sin deformación cualquier onda TEM, independientemente de la forma de la
función i(u).
2.- La corriente i en un conductor estrictamente perfecto ideal tiene lugar en forma de distribución superficial de
carga viajando. Aunque esa es la situación típica en las guías de onda metálicas, debida a que el campo magnético
variable no puede existir en el interior de un conductor ideal, esa precisamente es una condición que podría no tener
que aplicarse a nuestro caso, ya que la onda de nuestro caso es una onda “escalón”, cuya variación solamente existe
en su frente.
De manera que en la práctica, con conductores tan cercanos a la perfección como se quiera aunque sin alcanzarla
estrictamente, la corriente en nuestro caso podría fluir por toda la sección del conductor, modificando un poco esta
descripción. Pero dado que no habría diferencias esenciales en lo que a nuestro problema se refiere, nos
mantendremos en el caso ideal de conductor totalmente perfecto, en cuyo interior, si inicialmente no hay campo
magnético, nunca puede haberlo. Así es que nos mantendremos en la simplificación de la corriente constituida por
una distribución superficial de carga viajando.
Además simplificaremos los razonamientos proponiendo una densidad volumétrica que viaja en una capa
superficial de espesor e, pequeño, que luego se hace tender a cero. Para todas las variables que nos interesan lo que
vamos a obtener es independiente de e, y hacerlo tender a cero resulta trivial.
De manera que si los conductores tienen radio s, y la corriente fluye en una capa de espesor e, el módulo del vector
densidad de corriente, j, resulta:
esπ2
i
j =
(8)
Esta expresión es una simplificación razonable porque el diámetro de los conductores es muy pequeño comparado
con su separación h, de manera que consideramos que la simetría axial de la distribución de carga y corriente en la
superficie de cada conductor no resulta alterada por la vecindad del otro conductor. Esta es la simplificación habitual
con que se trata esta línea de transmisión, y con ella los campos que se encuentran son superposición de los campos
que generaría cada conductor si estuviese solo.
Aplicamos ∇∙j = -∂ρ
q
/∂t, siendo ρ
q
la densidad volumétrica de carga, para obtener la densidad superficial de carga
σ = ρ
q
e (dado que todas las variables dependen de (z, t) a través de u, se tiene: ∂/∂t = c d/du; ∂/∂z =-d/du):
t
σ
e
1
t
ρ
esπ2
1
du
di
q
−=
−=−=• j
(9)
De manera que (abreviamos di/du, con i’(u)):
sπ2
(u)i
t
=
(9´)
Y de aquí, el campo eléctrico superficial E
s
= σ/ε
0
,
resulta
:
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sπ2
(u)i
t
E
0
s
=
(9’’)
O lo que es lo mismo:
0
0
0
s
ε
μ
sπ2
i(u)
csεπ2
i(u)
t)z,(E ==
(10)
De donde podemos concluir que tanto la densidad superficial de carga como el campo eléctrico E
s
que brota de
ella en cada lugar, están determinados directamente por la función i(u), cualquiera que sea. En nuestro caso son nulos
hasta que llega el frente de onda, a partir de ese instante crecen, y luego quedan constantes en los valores alcanzados,
correspondientes a i(u) = i
0
, resultando independientes tanto de los valores de e y de a, como de la forma en que crece
la corriente para llegar a su valor final.
3.- El hecho de que el campo eléctrico sea constante en el tiempo en la zona z < ct-a, implica, según la Ecuación de
Maxwell (4), que el campo magnético esté determinado por la ley de Ampere. Es decir (siempre considerando
despreciable el efecto del conductor vecino sobre la simetría axial), el módulo del campo producido por cada
conductor a distancia ρ de su centro será (desde aquí se considera un sistema de coordenadas cilíndricas (ρ, z, ϕ)):
=
π2
iμ
B
00
(11)
Y dado que en la zona considerada tanto E como B son independientes del tiempo, las Ecuaciones de Maxwell
indican que ambos son irrotacionales, y por lo tanto son exactamente iguales a los que generaría un conductor
rectilíneo infinito con corriente y carga superficiales constantes. De manera que a distancia ρ de cada conductor el
campo eléctrico generado por él vale:
0
00
0
0
ε
μ
π2
i
cεπ2
i
E(r)
=
=
(10´)
Ahora bien, las expresiones (10), (10’), y (11), nos animan a sustituir i
0
en (10’) y (11), por i(u(z,t)), para obtener
expresiones válidas para todo el espacio y tiempo, es decir antes, durante, y después, del pasaje del frente de ondas:
Y las mismas relaciones valen para los campos correspondientes al conductor superior, referidos a coordenadas
centradas en la lámpara.
Ahora queda como ejercicio para el lector verificar que estos campos cumplen con las Ecuaciones de Maxwell (3)
y (4) en todo el espacio fuera del conductor, independientemente de la función i(u). Esto significa que si se dieran las
condiciones para su existencia, constituirían una onda plana propagándose a lo largo del eje z, con velocidad c,
manteniendo la forma de las funciones E
ρ
(ρ,z,t) y B
φ
(ρ,z,t), dadas esencialmente por i(u).
Una forma en que estos campos pueden existir, es acompañando al conductor con otro paralelo con corriente –
i(u). En ese caso tenemos una línea de transmisión bifilar, por la que se propaga un modo TEM con los campos que
son superposición de los que rodean a cada conductor en estas condiciones.
De manera que, si E
inf/sup
y B
inf/sup
, son los campos correspondientes a cada conductor, se tendrá E = E
inf
+E
sup
y
B = B
inf
+B
sup
, cumpliéndose:
E
inf
⊥ B
inf
, E
sup
⊥ B
sup
, E ⊥ B
E
inf =
c B
inf
, E
sup
= c B
sup
, E = c B,
E x B = μ
0
S
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Donde S es el vector de Poynting, que apunta en la dirección de propagación de la onda (hacia z
+
en la parte
derecha del circuito, y hacia z
-
en la izquierda), e indica su densidad de potencia - y no es igual a S
inf
+S
sup
.
4.- Ahora estamos en condiciones de aplicar la expresión (6) para obtener una relación entre i
0
y V. La integral en
la expresión (6) se puede calcular a lo largo de cualquier línea de campo eléctrico, dado que este es irrotacional. El
cálculo se hace fácilmente a lo largo de líneas en el plano de los conductores, y se obtiene:
( )
h/sln
cεπ
i
h
11
d
cεπ2
i
d
0
0
sh
s
0
0
sh
s
−
+
=•
−−
rE
Con lo cual (6) se transforma en una relación fundamental para este problema:
( )
h/sln
cεπ
i2
RiV
0
0
0
+=
(12)
Con esta expresión ya es posible calcular i
0
, aunque no es tan importante:
cεπln(h/s)2
V
cεπ
ln(h/s)2
R
V
i
0
0
0
+
=
Estas condiciones, que simultáneamente se cumplen de la misma manera en el lado izquierdo del circuito, se
mantienen invariables hasta que los frentes de onda se acercan a los extremos del sistema (z = ± H). Allí la onda debe
reflejarse anulando el campo E, porque de no hacerlo resultaría tangencial a los conductores que cierran el circuito.
La forma más fácil de analizar la reflexión consiste en considerar que en z = H los conductores continúan como si
el circuito no terminara, pero que desde la zona z > H “viene”, en sentido contrario, una onda igual con campo eléctrico
opuesto, de manera tal que ambas se encuentran en z = H (figura 11).
FIGURA 11. Ilustración del extremo derecho del circuito poco antes de que el frente de ondas llegue a él. Desde la izquierda avanza
la onda que hemos estudiado, y desde la derecha viene a su encuentro una onda virtual de iguales características, que anulará el
campo eléctrico en z = H. Al pasar a la zona de z < H esta onda virtual constituirá la onda reflejada.
La superposición de las dos ondas comenzará cuando ambas llegan a z = H. En ese instante el campo eléctrico es
nulo solamente allí, y a partir de ese momento la onda reflejada irá anulando, a medida que llega, el campo eléctrico
que había previamente en cada lugar. En cambio, en los lugares alcanzados por la reflexión, se duplican la corriente y
el campo magnético, y se tiene la situación ilustrada en la figura 12.
FIGURA 12. Ilustración del avance de la onda reflejada: anula el campo eléctrico y la carga superficial, y duplica el magnético y la
corriente.
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Dado que lo mismo habrá sucedido en la mitad izquierda del circuito, en el instante t = 2H/c, las dos ondas
reflejadas se encontrarán en z = 0. En ese instante la corriente valdrá 2i
0
en todo el circuito, el campo magnético tendrá
la forma y la intensidad correspondiente a esa corriente, y salvo la inmediata vecindad de la fuente y la lámpara, no
habrá ni carga ni campo eléctrico apreciable.
Y las dos ondas reflejadas proseguirán su marcha. Ambas son iguales a las que partieron de z = 0 antes (en t = 0).
Es posible equivocarse al mirar la figura y pensar que la corriente 2i
0
significa que las ondas que debemos considerar
ahora son de doble intensidad. Pero no es así: esta corriente doble es la resultante de la superposición de la inicial
más la reflejada. Y ahora deberemos considerar esta situación, de doble campo magnético, doble corriente y nulo
campo eléctrico, sobre la cual luego de encontrarse en el centro se superpondrán las mismas ondas que consideramos
inicialmente.
Ahora la expresión (6) nos indica que al pasar por el centro la onda deberá disminuir levemente el valor de i
0
, que
pasará a i
1
según la expresión que contempla el aumento de la diferencia de potencial a través de R:
( )
h/sln
cεπ
i2
R)ii2(V
0
1
10
++=
(12´)
Así tendremos que cada Δt = 2H/c, las ondas reflejadas se encontrarán en el centro, sumando “un escalón de
corriente” y el correspondiente campo magnético cada vez, mientras la carga y el campo eléctrico fluctúan de otra
manera (que no es acumulativa).
Esto nos permite decir que en tn = 2nH/c, al completarse el n-simo ciclo “centro-extremo-centro”, la corriente ha
llegado al valor i(t
n
) = 2i
0
+2i
1
+…+2i
n-1
, y la expresión (12’) se transforma en:
( )
h/sln
cεπ
i2
R)i(tV
0
1-n
n
+=
(12´´)
Mientras tanto, en este último ciclo la corriente ha aumentado con una derivada media dada por:
H
ic
H/c2
i2
Δt
Δi
1-n1-n
==
De manera que (12’’) puede reescribirse:
( ) ( )
h/sln
π
H2
iRih/sln
cεπ
H2
iRiV
0
2
0
+=
+=
,
donde i indica el valor i(t
n
), e i’ indica la derivada media de i en el último ciclo.
Pero esto completa la resolución del problema, pues esta es la expresión típica del circuito RL: V = i R + i’L, donde
la inductancia está dada por la expresión ya vista (2’):
)(h/slnH2
L
0
V. CONCLUSIONES
En la búsqueda de ideas para resolver el problema planteado hemos encontrado la forma en que se inicia la corriente
en este circuito, y también hemos accedido en general a una comprensión mejor, no total, pero mejor, de la forma en
que se inicia en cualquier circuito típico.
Lo más notable para el circuito del problema ha sido poder visualizar con claridad cómo el valor de la corriente
crece escalonadamente a través de sucesivas ondas de corriente. El circuito se muestra claramente como una guía de
ondas para los campos.
Es interesante describir con números el proceso encontrado. Podemos decir que: el valor final esperado es i
f
= 2
A. El primer escalón tiene un valor i
0
≅ 6 mA. Cada escalón dura 1 s, y hay 330 en el tiempo característico de
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crecimiento, de manera que 330 escalones de 6 mA darían un crecimiento igual al valor final, 2 A. Pero solamente los
primeros escalones son de aproximadamente 6 mA, y lentamente van disminuyendo ese valor para que al llegar a los
330 s, la intensidad (suma de los 330 escalones) llegue a (1-1/e) = 0,63 i
f
= 1,26 A. Y así continúa el crecimiento de la
corriente que corresponde a estos circuitos, con escalones cada vez más suavizados.
Por otra parte, admitiendo un valor estimativo de la corriente inicial en la fuente i
0
≅ 6 mA, aplicando la expresión
(A3.1) se puede estimar fácilmente el valor del campo eléctrico que inicialmente llega a la zona de la lámpara con el
frente de onda a los 3 ns de cerrado el interruptor, que resulta del orden de 0,4 V/m - como se ve, muy superior al
campo atribuible al dipolo (-Q
F
,Q
F
) en condiciones estáticas, estimado en 2x10
-4
V/m en el Apéndice 1.
En cuanto a la propuesta de Derek, podemos decir que su respuesta es correcta en afirmar que la circulación de
corriente en la lámpara se inicia a los 3 ns, que es cuando la onda electromagnética llega a ella viajando directamente
por el espacio. Pero claramente en ese momento aún no puede decirse que la lámpara se enciende, ya que la corriente
solamente se inicia, y aún habría que esperar hasta que el frente de ondas haya recorrido una distancia bastante
mayor que la separación entre los conductores, digamos entre 10 y 100 ns, para que alcance los 6 mA que dan el valor
del primero de la larga serie de escalones que habrá que esperar para tener la lámpara brillando aceptablemente.
REFERENCIAS
1
Jackson, J. D. (1962). Classical electrodynamics. John Wiley & Sons.
Skilling, H. H. (1975). Los fundamentos de las ondas eléctricas. Librería del Colegio.
Zangwill, A. (2012). Modern Electrodynamics. Cambridge University Press.
1
Se citan 3 posibles fuentes útiles para la lectura de este trabajo, haciendo la salvedad de que los desarrollos que se presentan son básicos, y se
pueden apoyar prácticamente en cualquiera de los textos usuales sobre campos electromagnéticos. Para lectores con poco adiestramiento
matemático se recomienda Skilling (1975).
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APÉNDICE 1
Revisando algunas ideas sobre dipolos y sobre el cierre del interruptor.
Es bien sabido que el campo de una carga puntual (que aquí interesa llamar monopolo para unificar el vocabulario)
situada en el origen, es radial y de módulo E(r) dado por la Ley de Coulomb, según la cual la componente radial, E
r
es:
2
r
r
q
kE =
Donde q es la carga, r es la coordenada radial, que indica la distancia entre la carga y el punto en que se calcula el
campo, y k ≅ 9,0x10
9
N·m
2
/C
2
, es la constante de fuerza electrostática.
El campo eléctrico producido por cualquier distribución de cargas, se obtiene en principio superponiendo en cada
lugar los campos producidos por todas las cargas existentes, calculado cada uno según esta ley. Pero a veces se facilita
la obtención del mismo resultado descomponiendo la distribución de cargas en una superposición de ciertas
configuraciones típicas que por alguna razón ofrecen ciertas ventajas. Una de ellas, muy útil para cuando se necesita
expresar el campo solamente a gran distancia de la distribución de cargas, es la descomposición multipolar: cualquier
distribución de cargas puede expresarse como la superposición de configuraciones denominadas, monopolo, dipolo,
cuadrupolo, octupolo, etc. Y la utilidad fundamental de estos elementos radica en que el campo de cada uno se atenúa
más rápidamente con la distancia que el del orden anterior, de manera que solamente es necesario conocer los
primeros (a veces basta solamente con el primero) para la aproximación requerida.
Aquí no profundizaremos en este tema más que para aprovechar algunas propiedades de los dipolos. Un dipolo es
un sistema formado por dos cargas opuestas de igual valor absoluto, separadas por cierta distancia (en general
pequeña comparada con la distancia a la que se quiere calcular el campo).
En la siguiente figura se muestra el esquema de líneas de campo de dos cargas puntuales de signo contrario
aisladas, y luego se muestra cómo estos campos se componen para dar un campo dipolar, cuando las dos cargas
están próximas.
FIGURA A.1. Líneas de campo eléctrico a) monopolo positivo. b) Monopolo negativo. c) Dipolo. El campo en cada punto P resulta
de la composición de los campos de cada monopolo.
Se deja como ejercicio al lector calcular que si cada carga tiene un valor absoluto q = 1 nC, y la separación entre las
dos cargas del dipolo es d = 5 cm, el valor del campo dipolar a 10 cm del centro del dipolo, E
dip1
, estaría entre un
máximo de 1024 V/m sobre el eje horizontal, y un mínimo de 410 V/m sobre el eje vertical (con las direcciones que se
pueden inferir de la figura).
Y el mismo cálculo a distancia d
2
= 1 m desde el centro, arroja valores de E
dip2
desde 0,9 V/m, sobre el eje
horizontal, hasta 0,45 V/m, sobre el vertical.
Es interesante comparar estos valores con el del campo de una sola de las cargas, que a 10 cm sería E
1
= 900 V/m,
y a 1 m sería E
2
= 9 V/m. Puede verse claramente que mientras el campo de una carga se debilita con el cuadrado de
la distancia, el de un dipolo lo hace con el cubo de la misma, lo cual se entiende fácilmente al observar en la figura
cómo el campo dipolar, a gran distancia, resulta de la composición de dos vectores casi opuestos.
De manera que si, para hacer una gruesa estimación, planteamos que cada electrodo de nuestro problema es
asimilable a un disco metálico de 1 cm de radio (todos perpendiculares al eje horizontal, constituyendo cada par un
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muy burdo condensador de placas paralelas, como se muestra en la figura A.2), y que la fuente F establece una
diferencia de potencial de 10 V entre los dos discos de la derecha (que serían sus electrodos), y por lo tanto también
entre los dos discos de la izquierda (que constituirían el interruptor I), podríamos obtener algunos valores numéricos
utilizando las fórmulas correspondientes a los condensadores plano paralelos.
FIGURA A.2. Electrodos en la zona F-I constituidos por placas paralelas perpendiculares al conductor.
Suponiendo la distancia entre los electrodos de la fuente d = 5 cm, obtendríamos:
Capacidad del condensador fuente: C
F
≈ S/d ≈ 5,5x10
-14
F
Carga de cada placa: q = V C ≈ 55x10
-14
C ≈ 0,0005 nC
Campo entre placas: E ≈ V/d = 200 V/m
Ignorando, para comenzar, la contribución de los electrodos del interruptor, vemos que es razonable, en el marco
de las estimaciones muy burdas que es posible hacer ignorando los detalles geométricos reales, pensar que a los
bornes de la fuente puede haber algunos centenares de V/m, mientras que en la zona de la lámpara, a 1 m de distancia
el campo puede llegar a lo sumo a 2 x10
-4
V/m. Es decir se divide por un factor 10
6
.
Ahora bien, supongamos que el interruptor está alineado como en la figura, entonces produce un campo que,
lejos, en la zona de la lámpara, debilita considerablemente al que se debe a la fuente.
Aquí hay un detalle importante que parece trivial, pero no lo es: el interruptor, ¿cómo es, cómo actúa?
Como quiera que sea el interruptor, consiste en dos conductores que están separados, y que para iniciar el proceso
deben aproximarse hasta entrar en contacto (no necesariamente deben estar orientados como lo muestra la figura,
pero para simplificar lo consideraremos así). Ahora bien, cualquiera que sea su forma, estos dos conductores próximos
constituyen un condensador, cuya capacidad aumenta cuando se aproximan. Y con cualquier geometría razonable, al
estar suficientemente próximos serán asimilables a un condensador de placas planas paralelas con capacidad C
I
≈
ε
0
S/d, que tenderá a infinito cuando la separación entre los contactos tienda a cero!
Esto complica seriamente las ideas sobre el proceso.
Asumiremos que hay alguna distancia d
I
mínima, a partir de la cual se inicia la descarga eléctrica entre los
contactos, sin que la capacidad C
I
alcance valores que compliquen el problema. Pero queda claro que las capacidades
C
F
y C
I
pueden ser muy diferentes. En principio, podemos pensar que “justo antes del contacto”, o sea, a la distancia
mínima invocada entre los contactos, debe ser C
F
<< C
I
, y por lo tanto, Q
F
<< Q
I
. Debe notarse que este no es un sistema
de condensadores en serie, como puede parecer, sino que debe plantearse como que ambos condensadores están en
paralelo con la fuente (se deja para el lector mostrarlo).
Así es que Q
F
puede tener el valor que hemos estimado, pero Q
I
debe ser mucho mayor. Y así es que no deberíamos
considerar que los contactos del interruptor tienen cualquier separación, y en t = 0 se juntan, porque en ese proceso
la carga Q
I
debería aumentar mucho, fluyendo desde el borne positivo de la fuente (o sea recorriendo 1,2 millones de
km), y calcular la demora para ello plantearía un problema más complicado que el que tratamos de resolver!
De manera que debemos comenzar el proceso con los contactos del interruptor separados por alguna distancia
hipotética levísimamente superior a la mínima (postulando que la descarga no se va a iniciar en esas condiciones).
Esta sería la situación previa al contacto, con dos dipolos enfrentados, uno de los cuales está formado por cargas Q
I
muy superiores a las Q
F
que hemos considerado para la fuente. Pero dado que la capacidad es inversamente
proporcional a la separación, ambos dipolos tendrían el mismo valor del producto Qxd (que se denomina momento
dipolar). Y resulta que el momento dipolar y no la carga, es lo que determina el campo a gran distancia (como se puede
encontrar en cualquier texto además de Zangwill (2012); y como ejercicio el lector puede verificar que los campos
calculados antes a 1 m de distancia para dos cargas ±1 nC separadas por 5 cm, tienen casi exactamente los mismos
valores que para cargas ±5 nC, separadas por 1 cm).
La conclusión final es que a 1 m de distancia, el campo que hemos calculado para el dipolo fuente, 10
-6
veces el
existente en la zona F-I, es aún más debilitado (al menos un orden de magnitud) por el dipolo interruptor, y eso
completa las afirmaciones sobre la inexistencia de cargas y campos apreciables en la zona de la lámpara antes de t = 0.
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APÉNDICE 2
El problema de dos conductores rectilíneos alineados conectados a una fuente con diferencia de potencial V.
Encontrar la distribución de carga, campo, etc., en un sistema como el de la figura 5.c: dos conductores rectilíneos de
longitud L, conectados a una diferencia de potencial V de manera de quedar alineados sobre la misma recta, es
extremadamente difícil. Pero es posible hacer un tratamiento aproximado que desarrollaremos aquí, capaz de dar un
buen panorama de la situación.
La idea básica consiste en reemplazar cada conductor por una línea de cargas iguales, inicialmente equidistantes,
positivas en un conductor, y negativas en el otro. Luego se calcula la fuerza eléctrica resultante sobre cada carga
debida a todas las otras, y a continuación se permite que las cargas se reacomoden desplazándose cada una una
pequeña distancia, proporcional a la fuerza sobre ella y en la misma dirección y sentido – manteniendo fijas solamente
a las cargas en los extremos de cada conductor.
Repitiendo iterativamente este procedimiento, se va tendiendo a una ubicación final que anula la fuerza eléctrica
sobre todas las cargas excepto sobre las de los extremos. Se encuentra que la distribución final de carga consiste en
una densidad lineal que se mantiene aproximadamente constante en toda la zona central de cada conductor,
aumentando mucho en la cercanía de ambos extremos. Muy similar a la distribución de carga en un conductor
rectilíneo único con la misma longitud y cantidad de carga.
FIGURA A1. Izq.: se repite la figura 5.c, mostrando el campo eléctrico del sistema de dos conductores de longitud L, conectados a
la fuente de diferencia de potencial V, alineados sobre el eje z. Der.: representación gráfica de la densidad lineal de carga λ(z)
correspondiente.
Una conclusión importante que se obtiene con este procedimiento es que la fuerza sobre las cargas de los
extremos exteriores siempre es hacia el exterior, independientemente de la longitud L de los conductores, indicando
así que si L es infinito no habrá límite para la distancia a la cual llega la carga.
El punto débil del procedimiento es que al ser una distribución lineal de carga, no se puede determinar el potencial.
Y además, si se intenta aumentar el número de cargas disminuyendo el valor de cada una, manteniendo constante la
densidad, el campo en los extremos (fuerza sobre las cargas de los extremos por unidad de carga), diverge cuando q-
>0 (como corresponde a una distribución lineal).
Esto se soluciona fijando un radio (pequeño) para el conductor, y distribuyendo cargas puntuales sobre su
superficie. Inicialmente las cargas se distribuyen uniformemente, eligiendo algún número fijo de ellas, N, en cada
anillo/rodaja de conductor de grosor igual a la separación de las cargas en el contorno de la rodaja.
Luego en cada iteración se modifica solamente la posición de cada anillo, permitiéndole desplazarse cierta
pequeña distancia a sus N cargas en conjunto bajo la acción de la fuerza resultante sobre ellas. Se modifica así la
distancia entre estos anillos de carga, aunque no la distancia entre las N cargas de cada anillo. Esto no es totalmente
correcto, pero simplifica mucho los cálculos y no influye apreciablemente en los resultados.
Con este procedimiento el potencial se calcula fácilmente sobre el eje del conductor, lo cual es una buena
aproximación si su radio es pequeño. Y así, además de recuperarse los resultados enunciados para la distribución lineal
de carga, se encuentra empíricamente cierta relación entre la diferencia de potencial V, y la densidad de carga (lineal
o superficial).
De este modo, para valores fijos de diferencia de potencial (V), y separación entre los extremos interiores (2z
0
), se
encuentran los valores de densidad media de carga en función de L mostrados en la siguiente figura.
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FIGURA A2. gráfica de la densidad lineal media de carga (λ
m
) en función de la longitud L de los conductores conectados a la fuente
en nuestro planteo (ambos ejes en unidades arbitrarias).
El caso en que uno de los conductores está interrumpido
Para este caso en que el borne negativo de la fuente está directamente conectado a un interruptor abierto muy
próximo, se tiene que en esta zona falta cierta cantidad Q de carga que la fuente es capaz de transportar al lado
positivo, limitada por la pequeña capacidad electrostática del sistema.
Ahora el mismo procedimiento antes descripto se plantea colocando una carga puntual –Q en un punto del borne
negativo, y la misma cantidad distribuida en N cargas q = Q/N a lo largo del conductor rectilíneo del lado positivo, con
una separación uniforme cualquiera entre ellas. Luego, con el mismo procedimiento iterativo se permite la
reacomodación de estas cargas q hasta anular las fuerzas sobre todas ellas excepto sobre la del extremo fijo en el
borne positivo.
Lo que se encuentra cuando se reacomodan las cargas es que finalmente se distribuyen con una densidad
inversamente proporcional a la distancia a la fuente (en el límite N
→
∞ ,es decir, q N
→
0, la última carga se alejaría
infinitamente sin llegar a un punto de fuerza exactamente nula).
En la práctica todo esto significa que la densidad de carga es apreciable solamente en la zona cercana.
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APÉNDICE 3
Algunos detalles de la expansión esférica de la onda inicial
Si se considera la situación mostrada en la figura 6, correspondiente a los instantes iniciales luego de que en t = 0
comience a circular la corriente por la fuente alimentando los conductores rectilíneos alineados con el eje z, es posible,
ignorando los detalles de la zona F-I, encontrar expresiones aproximadas sencillas para los campos.
Para ello se comienza planteando una corriente i = i(u) como la mostrada en la figura 10, de acuerdo con las
expresiones (7), y (7’). En estas condiciones, refiriendo a un sistema de coordenadas esféricas (r, θ, ϕ) centrado en la
fuente, con z como eje polar, se propone campo eléctrico y magnético con líneas como los meridianos y paralelos
respectivamente en cada superficie esférica de r = cte, según las expresiones siguientes, válidas para r suficientemente
mayor que las dimensiones de la fuente (en el exterior del conductor):
Expresiones en las que i(u*) se establece para cada punto de la región sustituyendo en (7) u por u* = ct – r.
Puede verificarse fácilmente que (recordar que es para el exterior del conductor)
Esto muestra que estos campos cumplen las ecuaciones de Maxwell en la región considerada. En cada instante t
esta región se subdivide naturalmente en tres partes:
1) Fuera de la fuente y el conductor, y dentro de la esfera de radio r = ct – a (es decir donde corresponde
i(u*) = i
0
= cte).
En esta región se tiene i’(u*) = 0, de manera que los campos son constantes en el tiempo, y no tienen ni divergencia
ni rotor. Esto significa, con los valores propuestos, correspondientes a las condiciones de contorno en la superficie del
conductor (ver más adelante), que el campo magnético es el que corresponde a un conductor infinito con corriente
i
0
, y que el campo eléctrico es el que nace de la densidad de carga en la superficie del conductor.
2) Fuera de la esfera de radio r = ct.
En ella u*< 0, y tanto i como i’, y con ellas todos los campos, son nulos. Claramente es la zona a la cual la onda aún
no ha llegado.
3) Fuera del conductor, en la cáscara esférica ct–a < r < ct.
Esta es la zona en la cual i’ no es nula, y en la que por lo tanto se cumplen las relaciones (A3.2) entre los campos y
sus variaciones en el tiempo. Claramente esta cáscara esférica viaja radialmente con velocidad c. Dentro de ella los
campos viajan manteniendo entre ellos las relaciones que corresponden a cualquier onda electromagnética plana:
E ⊥ B ; E = cB ; E x B = μ
0
S
Veamos ahora las condiciones de contorno en la superficie del conductor, es decir en la capa de espesor e →0, en
ρ = r senθ = s.
Consideremos que el radio del conductor, s, es suficientemente pequeño como para que θ sea despreciable, y
puedan identificarse (los versores) r con z. Luego comencemos situándonos en la zona r < ct – a, en la cual i = i
0
= cte,
por lo cual nada depende del tiempo. Pero ahora B ya no es nulo, puesto que B desaparece en el espesor e: pasa de
B
φ
= B
s
= μ
0
i
0
/(2πs), en
〉
= s, a 0 en ρ = s – e. Esta desaparición de B da un rotor con dirección z, de valor B
s
/e.
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Es decir, se tiene aquí: ∇×B = z μ
0
i
0
/(2πse) = μ
0
j; es decir nuevamente el cumplimiento de la ecuación de Maxwell
(4), aquí en su componente z , con ∂E
z
/∂t = 0.
Por otra parte, también en esta zona nace el campo eléctrico, a partir de una densidad superficial de carga: σ =
ε
0
E
s
= i
0
/(2πsc). Dividiendo esta expresión por e tenemos una densidad volumétrica ρ
q
= σ/e = i
0
/(2πsce) = j/c
2
.
Y ahora, finalmente, podemos extender estas ideas a toda la longitud del conductor, es decir, si incluimos la zona
del frente de ondas: ct–a < r < ct (la zona r>ct es trivial), en ella tiene lugar la superposición de lo que corresponde por
ser frente de onda: componente del rotor de B en la dirección θ , y de E en dirección φ , según las relaciones (A3.2),
con lo que corresponde por ser la capa superficial del conductor: agrega componente del rotor de B en la dirección z,
más la divergencia de E, etc.
Ahora bien, todo esto tiene un problema: no es totalmente exacto. Hemos hecho la aproximación de que el
conductor es suficientemente delgado como para identificar la dirección z con la r sobre su superficie. Es una
aproximación muy buena para r>>s, que es la zona que nos interesa, pero, por ejemplo, el campo E tiene dirección θ,
y por lo tanto E
s
no es estrictamente perpendicular a la superficie: tiene una pequeñísima componente según z.
Los campos propuestos serían estrictamente correctos si la superficie de cada conductor fuera un cono según θ
constante. Este ángulo podría ser muy pequeño, y eso sugiere que toda la aproximación planteada puede funcionar
bien. Como ya se dijo, es importante tener en cuenta, que en la zona cercana a la fuente ya existen antes del cierre
del interruptor, distribuciones de carga que son fuente de campos que estamos ignorando porque no afectan a la zona
que nos interesa. Estos campos se superponen a los que hemos propuesto aquí, y tienen alguna influencia sobre el
valor con que se inicia la corriente, que es independiente de la existencia del conductor superior con la lámpara. Y lo
importante para nuestro caso es que cuando el frente de onda alcanza al segundo conductor, este comienza a
interferir sobre la propagación de los campos, y rápidamente transforma este problema en el problema mucho más
accesible que hemos podido resolver en este trabajo.
2
Esta relación, j = ρ
q
c, que se cumple en la capa superficial de todas las guías de onda metálicas cuando conducen un modo TEM, parece sugerir
que los portadores de carga se mueven con la velocidad c de la onda, pero no es así. La velocidad de la onda electromagnética, c en estos casos
TEM, debe ser igual a la velocidad de la onda de carga superficial, pero ello puede lograrse con portadores mucho más lentos, dependiendo de la
densidad de portadores de carga de cada signo que hay en el conductor.
