VOLUMEN 32, NUMERO 1 | ENERO-JUNIO 2020 | PP.107-122
ISSN: 2250-6101
La enseñanza de la teoría de la relatividad restringida de Einstein, estado de la cuestión
Teaching Einstein´s theory of special relativity, state of the art
Xabier Prado1, José Manuel Domínguez-Castiñeiras1, Iván Area2, Ángel
Paredes3 y Jorge Mira4
1Facultade de Ciencias da Educación, Departamento de Didácticas Aplicadas, Universidade de Santiago de Compostela, 15782-Santiago de Compostela, España.
2Escola de Enxeñaría de Telecomunicación, Departamento de Matemática Aplicada II, Universidade de Vigo, 32004- Ourense, España.
3Escola de Enxeñaría Aeronáutica e do Espazo, Departamento de Física Aplicada, Universidade de Vigo, 32004- Ourense, España.
4Facultade de Física, Departamento de Física Aplicada, Universidade de Santiago de Compostela, 15782-Santiago de Compostela, España.
*E-mail: fisica.visual@gmail.com
Recibido el 18 de marzo de 2020 | Aceptado el 4 de mayo de 2020
Resumen
El objetivo del presente trabajo es obtener una visión global sobre la problemática de la enseñanza de la relatividad restringida de Einstein desde la perspectiva del pensamiento del profesorado y de las propuestas didácticas para su enseñanza. La información se ha obtenido de las bases de datos Web of Science, Scopus, Educational Resources Information Center y Google Scholar. Se ha seleccionado en función de su fiabilidad y validez, su rigor metodológico y el cumplimiento de los criterios de calidad científica buscada, teniendo en cuenta los índices de valoración de las revistas científicas Journal Citation Reports (JCR), Scimago Journal Rank (SJR) e Índice Compuesto de Difusión Secundaria (ICDS). En este estudio se ha puesto de manifiesto el pensamiento del pro- fesorado, así como las propuestas didácticas para la enseñanza de la teoría de la relatividad restringida de Einstein. Forma parte del marco teórico de la investigación de tesis de doctorado del primer firmante, en la que se diseñó, implementó y evaluó una propuesta de enseñanza basada en la geometría de Minkowski, para estudiantes de Bachillerato (17-18 años).
Palabras clave: Relatividad restringida de Einstein; Geometría de Minkowski; Pensamiento del profesorado; Propuestas de ense- ñanza; Revisión bibliográfica.
Abstract
The objective of the present work is to obtain a global vision on the problem of the teaching of Einstein's special relativity from the perspective of the teachers' thinking and the didactic proposals for its teaching. The information has been obtained from the Web of Science, Scopus, Educational Resources Information Center and Google Scholar databases. It has been selected based on its reliability and validity, its methodological rigor and compliance with the desired criteria of scientific quality, taking into account the evaluation indexes Journal Citation Reports (JCR), Scimago Journal Rank (SJR) and Secondary Diffusion Compound Index (ICDS). To facilitate the analysis of the information, it was classified into two categories: teachers' thinking and difficulties about Einstein's
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Enseñanza de la teoría de la relatividad restringida
RRT, and didactic proposals for teaching Einstein's RRT. The conclusions have revealed the thinking of the teachers as well as the didactic proposals for the teaching of Einstein's theory of special relativity. It is part of the theoretical framework of the first signer's doctoral thesis research, in which a teaching proposal based on Minkowski geometry was designed, implemented and evaluated for high school students (17-18 years old).
Keywords: Einstein's special relativity; Geometry of Minkowski; Teachers’ thinking; Teaching proposals; Bibliographic review.
I. INTRODUCCIÓN
La teoría de la relatividad restringida de Einstein (en lo sucesivo, TRR), además de su relevancia en el ámbito científico, entraña un conocimiento de la física necesario para comprender diferentes aspectos de las producciones culturales del siglo XX. La notabilidad del tema se traslada al currículo de educación de niveles preuniversitarios en el ámbito internacional. Así, por ejemplo, en Stadermann, Berg y Goedhart (2019, apéndice A, tabla VII) se puede acceder a información curricular en la que se puede consultar el interés que suscita la TRR en varios países de Europa, Australia y Canadá y cómo se propone su enseñanza en el último curso de secundaria superior. Del mismo modo, en Argentina, dicho interés se contempla en el último curso del ciclo superior de educación secundaria de la orientación de Ciencias Naturales, en el marco de la Física (DGCyE, 2010, p. 125), y, en España, en la asignatura de Física de segundo y último curso de bachillerato (BOE, 2015, nº. 3, p. 272).
La TRR, al igual que la física moderna en su conjunto, ofrece un activo campo de investigación didáctica tanto por la relevancia de sus contenidos como por el carácter contraintuitivo de gran parte de sus resultados, lo que supone un interesante problema didáctico.
Para profundizar en esta problemática, hemos formulado las siguientes preguntas de investigación cuya solución nos parece fundamental para el conocimiento de las principales dificultades y aportaciones para el aprendizaje y en- señanza de la TRR: ¿Cuál es la forma de pensar del alumnado cuando utiliza la TRR para explicar hechos y fenómenos? ¿Cuál es el pensamiento del profesorado cuando explica la TRR a sus alumnas y alumnos? ¿Qué propuestas didácticas se han diseñado y aplicado para la enseñanza y el aprendizaje de la TRR?
Para contestar dichas cuestiones se ha procedido a una exhaustiva revisión bibliográfica que ha permitido estable- cer el estado de la cuestión sobre el aprendizaje y la enseñanza de la TRR. La primera de ellas ha sido abordada en un trabajo precedente (Prado, Domínguez-Castiñeiras, Area, Paredes y Mira, 2020) y las otras dos constituyen el objetivo de este artículo: proporcionar, a la luz de investigaciones anteriores, una perspectiva global sobre la problemática de la enseñanza de la TRR desde la que se contemplan las formas de pensar del profesorado, así como las propuestas didácticas para su enseñanza.
Este trabajo forma parte del marco teórico de la investigación de tesis de doctorado del primero de los firmantes (Prado, 2010, 2012), mediante la que se diseñó, aplicó y evaluó una propuesta didáctica, basada en la formulación geométrica de Minkowski (2012), para la enseñanza de la relatividad restringida de Einstein (Naber, 2012). Dicha pro- puesta se investigó con estudiantes de último curso de bachillerato (17-18 años).
Consideramos que esta revisión bibliográfica constituye un instrumento eficaz para ayudar al profesorado a fun- damentar su acción en el aula; a los investigadores en didáctica de las ciencias experimentales, para el diseño, aplica- ción y evaluación de propuestas de enseñanza sobre el tema; a ambos destinatarios, para seguir investigando, innovando y enseñando a partir del conocimiento elaborado con anterioridad, por el ahorro de tiempo y esfuerzo que supone. Por último, pero no menos importante, para contribuir a la alfabetización científica de la población.
Este trabajo puede enmarcarse en las siguientes líneas de investigación: Desarrollo del pensamiento científico, y Diseño, implementación y evaluación de propuestas de enseñanza que utilizan la geometría de Minkowski.
En el apartado de implicaciones, se desarrolla una actividad ilustrativa de cómo se puede plantear de forma gráfica y responder geométricamente la pregunta formulada por Einstein (1905): ¿Depende la inercia de un cuerpo de su cantidad de energía?
II. MÉTODO
Para la selección de la bibliografía analizada se han utilizado las bases de datos y se han establecido los criterios que se indican a continuación.
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A. Recuperación de la información. Fuentes documentales
La búsqueda de la literatura se ha realizado consultando las bases de datos Web of Science, Scopus, Educational Re- sources Information Center y Google Scholar. Están especializadas en ciencias humanas y sociales y contienen amplia información sobre revistas y recursos relacionados con la educación.
En el cuadro 1, se recoge un resumen de las revistas consultadas, el número de referencias por revista y el período de tiempo revisado (décadas), correspondientes a la investigación de tesis de doctorado citada (1960-2011) y actuali- zadas hasta 2020. En la parte superior, resaltado en negro, se muestran las revistas revisadas en inglés, así como el número de referencias correspondientes a cada una de ellas, y las monografías consultadas. En el apartado “otras”, para no complicar el cuadro, se agrupan las revistas en las que el número de referencias recogidas fue menos signifi- cativo. En el centro de la figura, a la izquierda, se representan, en blanco con borde negro, las revistas revisadas en español y, a la derecha, el número total de referencias recogidas (370). En la parte inferior, se muestran las frecuencias de las referencias seleccionadas, en negro las escritas en inglés y en blanco las redactadas en castellano, distribuidas según las décadas revisadas.
Para la revisión se han utilizado las siguientes palabras clave: Enseñanza de las Ciencias; Relatividad restringida de Einstein; Geometría de Minkowski; Dificultades de aprendizaje; Dificultades de enseñanza; Propuestas de enseñanza (Science Education; Einstein's special relativity; Geometry of Minkowski; Learning difficulties; Teaching difficulties; Teaching proposals).
Para la elaboración de este trabajo, se han seleccionado las referencias más representativas del tema abordado.
CUADRO 1. Revistas consultadas, referencias por revista y período de tiempo revisado en décadas (de Prado, 2012).
B. Análisis de la fiabilidad y validez de la información. Criterios de selección
El objetivo de la revisión: Obtener una visión global sobre la problemática de la enseñanza de la relatividad restrin- gida de Einstein desde la perspectiva del pensamiento del profesorado y de las propuestas didácticas para su ense- ñanza.
La fiabilidad y validez de los artículos: Se ha tenido en cuenta su rigor metodológico y si cumplen los criterios de calidad científica buscada. Para ello se han utilizado los índices de valoración de las revistas científicas, Journal Cita- tion Reports (JCR), Scimago Journal Rank (SJR) e Índice Compuesto de Difusión Secundaria (ICDS).
C. Sistematización de la información. Resultados y discusión
Para sistematizar los resultados, realizar el análisis y formular las implicaciones en la enseñanza, se ha categorizado la información disponible. Señalaremos que, aunque las categorías resultantes se han inferido de los trabajos de investi- gación revisados, se reformularon y agruparon de modo que nos permitieran extraer las dificultades de enseñanza y las propuestas didácticas encontradas en los contextos de habla española e inglesa.
Como se ha indicado, el objetivo de esta investigación es analizar, mediante la bibliografía seleccionada, las formas de pensar del profesorado sobre la TRR así como las propuestas didácticas para su enseñanza. En consecuencia, se han establecido las siguientes categorías para organizar el análisis de la información: Pensamiento y dificultades del profesorado acerca de la TRR de Einstein; Propuestas didácticas para la enseñanza de la TRR de Einstein.
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III. PENSAMIENTO Y DIFICULTADES DEL PROFESORADO ACERCA DE LA TRR DE EINSTEIN
Se han revisado las dificultades que encuentra el profesorado para enseñar la TRR. El objetivo es verificar si la com- plejidad de los conceptos implicados puede inducir ideas alternativas no deseables, tanto desde la perspectiva cientí- fica como desde la propia didáctica. Numerosos autores abordaron este tema durante la segunda mitad del siglo XX y en este contexto Alemañ (1997) puso de manifiesto que el profesorado trabajaba con ideas como:
-Que la ecuación de Einstein, E = mc2, solo es útil para transformar unidades de masa en energía o viceversa. El cuadrado de la velocidad de la luz sería un factor de conversión análogo a la densidad. Esta interpretación oscurece la universalidad de la equivalencia entre masa y energía frente al carácter particular de las relaciones de densidad.
-Que un cuerpo acelerado nunca alcanza la velocidad de la luz porque la masa relativista crece con la velocidad. Concepción que se relaciona con la anterior.
-Que en la relatividad los conceptos de sistema de referencia, sistema de coordenadas y observador, son comple- tamente equivalentes. Aunque estos están estrechamente relacionados, la noción de sistema de referencia (SR) es esencial para el tratamiento de la relatividad. Sin embargo, contrariamente a esta forma de pensar, un mismo SR puede admitir diversos sistemas de coordenadas y no todos los SR tienen por qué contener un observador.
-Que la relatividad nació como resultado de la insatisfacción causada por los resultados negativos de Michelson y Morley al tratar de detectar el movimiento absoluto con respecto al éter. Sin embargo, Einstein afirmó, aunque cono- cía el citado experimento, que tuvo poca o ninguna influencia en el desarrollo de su teoría de la relatividad (Pais, 2005).
-Que la TRR trata los procesos en condiciones extremas de velocidad o energía. Por lo tanto, sería mejor prescindir de ella debido a sus complicaciones teóricas y su alejamiento de la vida cotidiana. Contra este tipo de argumento, debe señalarse que los efectos relativistas tienen aplicaciones y resultados prácticos y tangibles.
-Que realizaban aplicaciones inapropiadas de los conceptos de sistema de referencia y evento, incluso en el marco de la cinemática clásica.
Por otra parte, Mermin (1994) señala el error de algunos profesores que conceden a la transformación matricial de Lorentz un papel esencial para la enseñanza de la teoría de la relatividad, y argumenta que a ningún profesor se le ocurriría, por ejemplo, introducir matrices ortogonales como punto de partida para explicar el concepto de rotación espacial.
Además, Baierlein (2006) abordó dos “mitos” o errores comunes en la enseñanza de la TRR. El primero es la pre- sentación de la transformación de Galileo como una especie de límite de baja velocidad para la transformación de Lorentz, lo que puede generar confusión. El segundo es la existencia de dos enfoques diferentes para la invariabilidad de la velocidad de la luz, el primero relacionado con el movimiento de la fuente y el segundo asociado con el movi- miento del observador. Estas concepciones podrían provocar la desorientación de los estudiantes si no se analiza la relación existente entre ellas.
Pérez y Solbes (2006) detectaron varias estrategias que consideran inadecuadas para la enseñanza de la TRR. Entre las más comunes se pueden citar:
-Introducir el tema con el experimento crucial de Michelson-Morley, pues este enfoque empirista oscurece el carácter esencialmente ontológico de la TRR.
-Enfocar el desarrollo de la relatividad en la brillante creación de un solo hombre, Einstein, ignorando la naturaleza colectiva del avance científico.
-Omitir o, por el contrario, exagerar, el cambio de los paradigmas físicos.
De Ambrosis y Levrini (2010) determinaron que las dificultades se pueden identificar y abordar en las etapas ini- ciales, cuando el profesorado se acerca a la propuesta y diseña sus propios caminos didácticos. Por su parte, Sezgin (2011) verificó que el profesorado en formación inicial tiene dificultades específicas y considerables con respecto a conceptos como los de tiempo propio, dilatación del tiempo, masa y densidad relativista.
De Hosson y otros (2010) encontraron una profunda falta de comprensión de los conceptos de sistema de refe- rencia y evento dentro de un grupo de futuros profesores de física, quienes piensan que los eventos pueden ser si- multáneos para un observador pero no simultáneos para otro, incluso cuando ambos están en el mismo SR. En la misma línea, De Hosson y Kermen (2012) señalan que los futuros profesores creen que el orden en que se perciben dos eventos determina el orden de sucesión de cuándo ocurren. Según Turgut, Gurbuz, Salar y Toman (2013) la ma- yoría de los candidatos a un puesto de profesor de física de grado, tuvieron dificultades con la relatividad del tiempo y con los sistemas de referencia y pocos reconocieron la velocidad de la luz como una velocidad límite que ningún otro objeto puede alcanzar.
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Yavas y Kizilcik (2016) intentaron descubrir la razón por la que el profesorado de física en formación inicial tenía dificultades con la TRR. Afirman que los problemas con el formalismo matemático, la determinación del marco de referencia y la transición de la mecánica newtoniana a la relativista dificultaron el proceso de aprendizaje.
IV. PROPUESTAS DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD RESTRINGIDA
En esta sección, se analizan las propuestas de enseñanza que se han presentado en la literatura sobre el tema, según el objetivo didáctico al que dedican mayor atención. De este modo, se han establecido las siguientes categorías: pro- puestas de cambio conceptual; propuestas de divulgación; animaciones; visualización sin cálculo; propuestas de natu- raleza geométrica; y propuestas basadas en la geometría del espaciotiempo de Minkowski.
A. Propuestas de cambio conceptual
En este apartado se discuten las propuestas de enseñanza que centran su atención en las dificultades didácticas rela- cionadas con los conceptos relativistas y proponen estrategias genéricas para lograr el cambio conceptual.
Gil y Solbes (1993) proponen un modelo educativo constructivista para introducir la mecánica relativista a partir de la mecánica de Newton. Villani y Arruda (1998) proponen una enseñanza de la TRR por cambio conceptual otor- gando un papel esencial a la historia de la ciencia, así como De Ambrosis y Levrini (2010) al analizar la forma de enseñar el concepto relativista del tiempo propio. Levrini (2002) expone el carácter absoluto del espaciotiempo y discute algu- nas implicaciones para la enseñanza, en particular sugiere un enfoque centrado en proponer al alumnado preguntas simples de contenido histórico-epistemológico, como “¿qué es el espacio?”.
Arriassecq y Greca (2007) establecieron una serie de categorías y subcategorías conceptuales para la enseñanza de la TRR, analizando también el concepto de tiempo como cambio, la contraposición entre el tiempo absoluto y el tiempo relativo y la distinción entre un observador (que mide las magnitudes físicas) y un espectador (que recibe señales de luz y construye imágenes de los eventos). Asimismo Arriassecq y Greca (2012) elaboraron una propuesta didáctica con un enfoque de tipo epistemológico e histórico que demostró ser ventajosa frente a la enseñanza tradi- cional basada en los libros de texto.
La manera en que se transforman magnitudes dinámicas como el trabajo o las energías cinética y potencial bajo los cambios de referencia en la mecánica newtoniana (transformación de Galileo), han sido objeto de atención re- ciente por parte de diversos autores (Ginsberg, 2018; Hilborn, 2019), en gran medida por servir de antesala al análisis posterior de estas magnitudes en la TRR.
Pérez y Solbes (2003) comentaron algunos problemas sobre la enseñanza de la relatividad restringida, subrayando la dificultad que entraña el cambio de paradigma (de la relatividad de Galileo a la relatividad restringida de Einstein) y proponen desarrollar una intuición galileana previa durante la educación secundaria obligatoria (de 12 a 16 años). Al analizar las ideas previas sobre el espacio, el tiempo y la masa, indican que muchas de ellas fueron motivadas por los medios de comunicación, especialmente la televisión. Allchin (2004), Meneses y Martín (2015) llegaron a resulta- dos similares.
Scherr, Shaffer y Vokos (2001, 2002), comprueban que las ideas de simultaneidad absoluta y relativa coexisten en la mente de los alumnos después de una secuencia de instrucción y proponen tutoriales específicos para promover la reflexión del alumnado sobre el concepto de simultaneidad. Análogamente, Toledo, Arriassecq y Santos (1997), cons- tatan que los conceptos relativistas no sustituyen a los de la física clásica, sino que ambos coexisten en la mente del alumnado después de la instrucción.
Villani y Pacca (1987) investigan las ideas espontáneas de los alumnos sobre la velocidad de la luz, destacando que dichas ideas se encuentran muy arraigadas en su mente, por lo que proponen abordar la relatividad de Galileo como paso previo a la enseñanza de la TRR. Villani (1992) propone actividades de conflicto cognitivo, en las que se pongan de manifiesto las analogías entre las ideas espontáneas de los alumnos y el desarrollo histórico de los conceptos cien- tíficos.
B. Propuestas de divulgación
En esta categoría se incluyen las propuestas en las que se simplifican los contenidos con el fin de dirigirse a amplias audiencias o a estudiantes en edades tempranas. El motivo principal que subyace a este enfoque es la consideración de la TRR como un conocimiento necesario para todos los ámbitos y no solo para las personas que eventualmente puedan trabajar con conceptos de la física moderna en sus actividades profesionales.
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Varios autores abordaron la divulgación científica de la TRR en museos de ciencia, como Johansson y otros (2006) al analizar la visualización experimental de aspectos particulares de la TRR (como los muones o la antimateria), o Guisasola y otros (2009).
Algunos investigadores utilizan el recurso de un modelo con una velocidad de la luz mucho menor para presentar los efectos relativistas en una escala humana: Sherin, Tan, Fairweather y Kortemeyer (2017) en el contexto de la visita a un planetario, así como Kortemeyer et al. (2013) mediante el escenario de Gamow, en el que la velocidad de la luz es comparable a la de una bicicleta.
La presencia y utilidad de los experimentos mentales en los libros de texto y libros de divulgación de física moderna fueron analizadas por Valentzas, Halkia y Scordoulis (2007) enumerando y comentando once experimentos mentales con fines didácticos.
Aunque la literatura sobre la conveniencia de introducir la física contemporánea en la educación secundaria y la necesidad de actualizar sus planes de estudio no es abundante, algunos de los investigadores proponen introducirla a una edad temprana (Aubrecht, 1989; Ostermann y Moreira, 2000). En este sentido, Swinbank (1992) sugiere que todos los estudiantes, incluidos aquellos que no están interesados en estudiar física, deberían recibir información sobre física moderna, en particular sobre relatividad restringida, y propone introducir la física moderna a una edad temprana, presentando una serie de visiones conceptuales.
Por su parte, Valentzas y Halkia (2013) usan experimentos mentales para presentar conceptos relativistas a los estudiantes de secundaria, mientras que Dimitriadi y Halkia (2012) concluyen que las ideas básicas de la relatividad son accesibles para aquellos, incluso aunque persistan las siguientes dificultades: la idea de un marco de referencia absoluto, la identificación de objetos con propiedades fijas, y que los eventos ocurren independientemente de la per- cepción del observador.
En un caso extremo de esta anticipación, Pitts y otros (2014) estudiaron el efecto de materiales didácticos centra- dos en aspectos de la relatividad restringida y general en niños de sexto grado de escuela primaria (10-11 años).
Podemos considerar dentro de este apartado de divulgación las propuestas de Egdall (2014), quien describe un curso sobre relatividad para adultos, así como la de Zakamska (2018) al analizar los datos astronómicos de una estrella binaria como un ejemplo práctico para la enseñanza de la TRR, formando parte de un curso en línea.
C. Animaciones
La teoría de la relatividad está estrechamente relacionada con la integración de los conceptos fundamentales de es- pacio y tiempo. Posee por lo tanto un carácter intrínsecamente dinámico que se puede presentar de manera eficiente mediante visualizaciones animadas y beneficiarse del potencial didáctico de los recursos audiovisuales en línea.
Los aspectos dinámicos de la teoría, incluida la noción de masa variable, fueron descritos por Angotti, Caldas, De- lizoicov, Rüdinger y Pernambuco (1978) utilizando películas y otro tipo de material audiovisual. Mientras que Carson (1998) explica cómo usar un software de hojas de cálculo para enseñar la teoría de la relatividad restringida.
Belloni, Christian y Dancy (2004) utilizan un software llamado Physlets y subrayan la necesidad de comenzar la enseñanza de la TRR por el concepto de marco de referencia. El procedimiento de visualización que describieron no se basa en la geometría de Minkowski sino en una aplicación sistemática del concepto de rayo de luz para definir diferentes eventos y sus relaciones.
Pérez y Solbes (2006) consideran que la eficacia didáctica de un método visual basado en el espaciotiempo de Minkowski es limitada. En su lugar recurren a enfoques visuales alternativos con relojes de luz, aplicaciones del teo- rema de Pitágoras y software de visualización (applets), mientras que Alonso y Soler (2006) publicaron una propuesta didáctica para la escuela secundaria superior basada en animaciones informáticas creadas con el software Modellus.
El software Real Time ha sido utilizado por Savage, Searle y McCalman (2007) en el ámbito universitario para ge- nerar diversos resultados gráficos que ayudan a visualizar efectos relativistas complicados, mientras que McGrath, Wegener, McIntyre, Savage y Williamson (2010) proponen utilizar material didáctico basado en la realidad virtual. Sherin, Tan, Fairweather y Kortemeyer (2016) proponen Open Relativity como un laboratorio virtual en línea y de código abierto en el que los usuarios pueden realizar sus propios experimentos para explorar los efectos de la relati- vidad restringida.
D. Visualización sin cálculo
Los conceptos relativistas se presentan generalmente por medio de un lenguaje matemático que puede ser más o menos abstracto, dependiendo del nivel de los estudiantes. En la escuela secundaria se suele usar la expresión alge- braica para el factor gamma, la fórmula de adición de velocidad o la equivalencia masa-energía. En la educación supe- rior, conocimientos más complejos como la trigonometría hiperbólica o la formulación tensorial son adecuados y permiten cálculos más elaborados. Sin embargo, centrarse en estos formalismos puede oscurecer la comprensión de
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los procesos físicos reales como un conjunto coherente de nociones relacionadas. Para abordar este problema, dife- rentes autores han presentado propuestas con énfasis en la visualización asociadas a una reducción del formalismo matemático.
Fiore (2000) recomienda enseñar la TRR utilizando fórmulas geométricas como el teorema de Pitágoras, ejemplos que incluyen el funcionamiento de tubos de televisión o los muones y el retrato de Einstein como un estudiante in- adaptado para generar simpatía por su trabajo.
Ruby (2009) sustituye el cálculo por el álgebra simple en la descripción de los fenómenos relativistas, presentando un curso introductorio de física llamado Non Calculus (Huggins, 2011), que comienza mostrando el principio de la relatividad como un concepto de validez universal. A partir de esta propuesta, se desarrollan gradualmente los con- ceptos físicos de los siglos XX y XXI, lo que evita limitar el tema de la relatividad restringida a unos pocos capítulos al final del curso.
E. Propuestas de naturaleza geométrica
La teoría de la relatividad se ocupa de las propiedades del espacio, el tiempo, otras magnitudes derivadas de ellas y sus transformaciones entre sistemas de referencia. La presentación de esas magnitudes con diagramas del espacio- tiempo, ofrece oportunidades para la comprensión visual de los conceptos relativistas y para la realización de cálculos directos en los diagramas mediante operaciones geométricas.
Así, Romain (1963) analizó las paradojas relativistas utilizando diagramas espaciotemporales para su explicación, visualización y resolución; mientras que Dray (1989) presentó una descripción alternativa de la paradoja de los geme- los aplicando diagramas espaciotemporales definidos en un espacio circular (diagramas cilíndricos).
Mermin (1997) simplificó la forma visual de los diagramas espaciotemporales eliminando los ejes de espacio y tiempo y dejando como referencia principal la velocidad de la luz, que está representada por las líneas inclinadas que definen el cono de luz. El mismo autor (Mermin, 1998), utilizando estos diagramas presenta una justificación visual de los invariantes relativistas identificándolos con la superficie constante de los rectángulos de luz.
Silagadze (2008) estudia desde un punto de vista geométrico la existencia de diferentes modelos de espaciotiempo que cumplen con los requisitos clásicos de espacio (homogeneidad, isotropía) y tiempo (causalidad), junto con el prin- cipio de relatividad. Ello se hace sin recurrir a la evidencia experimental con respecto a la velocidad de la luz y propor- ciona como resultado un conjunto de diversas geometrías.
Kocika (2012) propone utilizar un diagrama geométrico para visualizar la fórmula de Poincaré para la adición rela- tivista unidimensional de velocidades, mientras que Dray (2013) explica tres ejemplos de problemas de relatividad restringida que se pueden resolver mediante diagramas geométricos tridimensionales. El mismo autor (Dray, 2017) presenta enfoques geométricos didácticos para la enseñanza de la relatividad restringida y general, analizando sus pros y sus contras en comparación con metodologías más tradicionales.
F. Propuestas basadas en la geometría del espaciotiempo de Minkowski
Como se indicó anteriormente, la investigación de tesis doctoral citada (Prado, 2012) centra su atención en la formu- lación geométrica de Minkowski para la enseñanza de la TRR. Por lo tanto, consideramos con sumo interés las formu- laciones geométricas que sobre el tema se publicaron en el pasado. Básicamente utilizan la naturaleza geométrica del espaciotiempo y las posibilidades didácticas de visualización y comprensión que permite.
Véase, por ejemplo, cómo Alemañ y Pérez (2001) afirman que toda la TRR está contenida en los diagramas de Minkowski y analizan varias dificultades y dudas que surgen sobre su utilización. Proponen una construcción didáctica de la transformación de Lorentz a partir de la transformación de Galileo, adoptando un procedimiento visual compa- rativo. También abogan por un cambio de los programas educativos en el nivel de la educación secundaria para abor- dar adecuadamente la TRR.
Del mismo modo, Taylor y French (1983) analizan una paradoja relativista sobre la longitud en SR acelerados. Re- curren a la formulación geométrica de Minkowski y, contrariamente a la creencia común, muestran que el uso de diagramas espaciotemporales puede ser provechoso para visualizar y comprender las trayectorias libres, además de los movimientos uniformes. Desloge y Philpott (1987), que también tratan los movimientos acelerados en diagramas del espaciotiempo, explican escenarios relacionados con los agujeros negros.
Levrini y diSessa (2008) al analizar las dificultades de los alumnos con el concepto de tiempo propio, indican que la geometría de Minkowski es una herramienta extremadamente poderosa para presentar eventos como centros de atención y apoyarse en la geometría como una forma de coordinarlos. Proponen el debate entre Einstein y Minkowski para resaltar en las clases la importancia de una visión geométrica (Minkowski) frente a un enfoque operacional (Eins- tein) o algebraico (Lorentz). Del mismo modo, Levrini (2014) compara el abordaje operativo o einsteniano de Resnick (2012), considerado como "tradicional", con el geométrico o minkowskiano de Taylor y Wheeler (1992), en el cual las
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Enseñanza de la teoría de la relatividad restringida
propiedades de invariancia de la teoría asumen un papel central y facilitan la apertura posterior hacia la relatividad general.
Con el objetivo de comprobar si la enseñanza basada en diagramas de Minkowski es adecuada para la educación secundaria superior, Cayul y Arriassecq (2015) implementaron una secuencia diseñada para abordar la relatividad restringida de esta manera. Llegaron a la conclusión de que trabajar con diagramas de lápiz y papel es bastante com- plicado y se necesita demasiado tiempo para las construcciones. Por este motivo, Arriassecq, Greca y Cayul (2017) elaboraron una segunda implementación en la que los diagramas de Minkowski se analizaron con applets. Argumen- tan que esto permite una mejor conceptualización a través de la realización de estimaciones cualitativas y cuantitati- vas. Indican que las principales dificultades en las actividades relacionadas con estos conceptos tienen que ver con los cálculos numéricos y con el manejo correcto de las ecuaciones algebraicas.
Hemos de indicar además que Bokor (2018), con el que coincidimos, señala que el uso de diagramas espaciotem- porales puede ser la base de propuestas didácticas para el aprendizaje de los fenómenos relativistas en niveles básicos de una forma agradable y accesible.
V. IMPLICACIONES
En este apartado, se presentan las implicaciones derivadas de la revisión bibliográfica realizada. Así mismo se describe un ejemplo, tomado de Prado, Domínguez-Castiñeiras, Area, Paredes y Mira (2018), sobre cómo se puede plantear de forma gráfica y responder geométricamente a la pregunta formulada por Einstein (1905): ¿Depende la inercia de un cuerpo de su cantidad de energía?
A. Pensamiento del profesorado
Al revisar la bibliografía seleccionada se ha puesto de manifiesto que la complejidad intrínseca de algunos de los con- ceptos relacionados con la teoría de la relatividad restringida de Einstein plantea dificultades al profesorado, dando lugar a que sigan persistiendo ideas alternativas a las deseables desde la perspectiva de la ciencia, como las siguientes:
La creencia de que la física newtoniana es suficiente para interpretar el mundo que nos rodea y que es mejor prescindir de la TRR, dadas las complicaciones teóricas y su alejamiento de la vida cotidiana.
La suposición de que la ecuación de Einstein sobre la equivalencia entre masa y energía sirve tan solo para trans- formar las unidades de masa en las de energía y viceversa.
La concepción de que la masa relativista aumenta su valor con la velocidad.
La idea de que en la TRR son completamente equivalentes los conceptos de sistema de referencia, sistema de coordenadas y observador.
El razonamiento, alternativo a la perspectiva científica, de que no hay motivos que obliguen a cambiar los concep- tos de la física anterior a Einstein por los conceptos relativistas dado que los efectos relativistas conciernen, no al espacio y al tiempo en sí mismos, sino a nuestras medidas de ellos.
Además, el profesorado utiliza estrategias inadecuadas para la enseñanza de la TRR:
Presentan la transformación de Galileo como una especie de límite de baja velocidad para la transformación de Lorentz, lo que puede confundir al alumnado.
Utilizan dos enfoques diferentes (basados en el movimiento de la fuente o del observador) en relación con la in- variabilidad de la velocidad de la luz.
Persisten en un enfoque empirista mediante el experimento de Michelson-Morley, por lo que obvian la problemá- tica conceptual inherente a la TRR.
Fundamentan el desarrollo de la TRR en la brillante creación de un solo hombre, Einstein, ignorando la naturaleza colectiva del avance científico.
Omiten, o por el contrario sobrevaloran, el cambio de los paradigmas físicos.
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B. Propuestas de enseñanza
A partir del análisis de la bibliografía seleccionada se ha verificado que hay una ingente cantidad y variedad de pro- puestas didácticas para la enseñanza de la TRR, lo que es una indicación del interés que suscita el tema. Como ya se mencionó, hemos considerado conveniente establecer las siguientes categorías: propuestas de cambio conceptual; propuestas de divulgación; animaciones; visualización sin cálculo; propuestas de naturaleza geométrica; y propuestas basadas en la geometría del espaciotiempo de Minkowski.
Estas categorías derivan de nuestro convencimiento de que es conveniente enseñar la TRR mediante la geometría de Minkowski. La literatura muestra que el uso de diagramas espaciotemporales es un procedimiento eficiente para responder y explicar preguntas, dilemas y paradojas de la teoría. Para abordar la enseñanza de los conceptos relati- vistas, las propuestas incluyen principalmente actividades teóricas o experimentales: recursos audiovisuales (cada vez más disponibles en línea), experimentos y analogías, experimentos mentales, relatos históricos, enfoques a partir de la mecánica newtoniana, uso de la geometría, etc.
A continuación se expone la actividad mencionada anteriormente. En dicho ejemplo se resume visualmente el cambio de paradigma de la relatividad de Galileo a la de Einstein.
En la figura 1 se observan las magnitudes notorias (velocidad, masa y energía) en un diagrama espaciotemporal, en el que el espacio y el tiempo se representan, respectivamente, horizontal y verticalmente. De esta manera, un objeto B en reposo sigue una línea vertical, mientras que otro objeto A en movimiento describe una línea inclinada, tanto más cuanto mayor sea la velocidad y, por lo tanto, su energía cinética. Esta será nula en el reposo (objeto B).
FIGURA 1. Diagrama espaciotemporal para dos objetos (A y B) de diferente masa. El objeto B está en reposo, mientras que A se desplaza hacia la derecha. El punto F indica el centro de masas en el instante inicial y al mismo tiempo el fulcro de una balanza espaciotemporal (línea gruesa AB).
Se puede observar también en esta figura que a partir del instante inicial la masa A se pone en movimiento hacia la masa B (que permanece en reposo), llegando al punto de cruce C con la vertical BC, que indica la posición de la masa B. En este caso, las masas A y B no colisionan.
En la misma figura 1 se presenta una balanza en el instante inicial (segmento AB) que sirve para comparar las dos masas, A y B, a partir de la posición del punto de equilibrio entre las mismas (fulcro, F), semejante a la de Arquímedes (Strathern, 1999). Las masas serán iguales si el fulcro está equidistante de ambas. En caso contrario, la masa mayor desplazará el fulcro hacia ella. En la figura 1 se observa que el fulcro F está desplazado desde el centro del segmento AB hacia la masa A, lo que indica que esta será mayor que la masa B.
Se considera la inercia como la capacidad de arrastre en una colisión, lo que supone un desplazamiento del fulcro hacia la masa que tenga mayor inercia. Para representar la inercia en el diagrama espaciotemporal recurriremos al efecto que produce una colisión frontal inelástica entre dos objetos A y B con masas iguales y velocidades iguales y opuestas y, por lo tanto, con energías cinéticas iguales. En la figura 2 se observa en el origen de coordenadas un punto F que representa el centro de masas como el fulcro de una balanza de brazos iguales y, por lo tanto, según la ley de la palanca de Arquímedes, de masas A y B iguales. La colisión se produce en el punto C, en una posición espacial igual a la del fulcro F, pero en la parte superior del diagrama, es decir, en un instante posterior.
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FIGURA 2. Colisión inelástica simétrica entre dos objetos A y B de masas iguales, desde el sistema de referencia del centro de masas F. El cdm está en reposo tanto antes como después de la colisión y la simetría de la figura es evidente.
En este caso se utiliza la posición del conjunto (AB) en reposo después de la colisión para localizar el fulcro, pro- yectándola hacia la base horizontal (eje espacial). A partir de la posición del fulcro (F) podremos conocer si las inercias son iguales o diferentes.
La velocidad del centro de masas, cdm, no se ve alterada en una colisión. La traducción geométrica en el espacio- tiempo de esta propiedad implica que la línea de trazos, que indica en cada momento la posición del centro de masas antes de la colisión, debe mantener la misma inclinación que la línea gruesa, posición de las masas A y B unidas des- pués de la colisión inelástica.
En el caso particular representado en la figura 2, la línea vertical gruesa indica que el conjunto AB está en reposo mientras transcurre el tiempo después de la colisión, por lo que la línea de trazos del cdm antes de la colisión también será vertical.
En realidad, se está midiendo una de las propiedades de la masa, como es su inercia (o capacidad de arrastre en una colisión), por eso F se podría denominar centro de inercias. De este modo se ha establecido una forma geométrica operativa para comparar energías e inercias de diferentes objetos.
En la figura 2 se representa una situación particularmente adaptada a la resolución del dilema de Einstein: una colisión totalmente simétrica. Dos masas iguales (A y B) se lanzan a velocidades iguales y opuestas para colisionar de forma inelástica, quedando unidas después del choque. La simetría de la situación permite decir que el conjunto que- dará en reposo después de la colisión, o, lo que es lo mismo, que las inercias de una y otra masa eran iguales antes de la colisión.
La figura 2 está enmarcada en un cuadrado de espaciotiempo que corresponde con una celdilla unidad del SR del centro de masas.
Realizamos a continuación un cambio de sistema de referencia (figuras 3 y 4), de forma que nos situamos, como observadores, en el mismo estado de movimiento que una de las masas (B). Esto tiene como consecuencia que la masa B estará en reposo, mientras que la otra (A) aumenta su velocidad. El centro de masas ya no estará en reposo, sino que tendrá una velocidad relativa exactamente opuesta a la que adquirió el nuevo SR respecto al anterior.
Al hacer dicho cambio, se rompe la simetría con la que se presentaba la colisión inicialmente (figura 2), puesto que ahora la masa B, que está en reposo, ya no tiene energía cinética, mientras que esta aumentó para la masa A. Pode- mos, pues, comprobar si la presencia de energía en una de las masas produce o no un efecto de arrastre del fulcro frente a la masa sin energía cinética. En caso de que apareciera dicho efecto, contestaríamos afirmativamente a la pregunta de Einstein, y negativamente en caso contrario. Conviene tener presente que, al hacer esto, no se está alte- rando el experimento, sino que solo se cambia la forma de observarlo.
La representación geométrica en el espaciotiempo del cambio de sistema de referencia tiene una forma distinta en la mecánica newtoniana (transformación de Galileo) que en la física relativista (transformación de Lorentz). En cada caso, la respuesta a la pregunta de Einstein será diferente.
En el paradigma galileano (figura 3) vemos que el desequilibrio energético (la masa B en reposo perdió su energía cinética por completo, mientras que la masa A incluso aumentó su energía cinética) no produce un desequilibrio iner- cial, ya que el fulcro permanece en una posición equidistante de ambas masas. Es decir, para la mecánica newtoniana la inercia de un cuerpo no depende de su contenido energético.
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FIGURA 3. La misma situación de la figura 2, representada desde el sistema de referencia de la masa B mediante la transformación de Galileo. La simetría geométrica de la figura 2 ha desaparecido, ya que ahora la masa B carece de energía cinética, que tiene un valor positivo no nulo para la masa A. Sin embargo, esto no afecta a la posición central del fulcro F.
En la transformación relativista (figura 4), la forma de la celdilla unidad sufre la denominada transformación de Lorentz, que corresponde a un rombo inclinado 450 (Prado et al., 2020). La propiedad esencial de esta figura es que ahora la base horizontal (A-B) también se inclina. Como consecuencia, se produce un desplazamiento de la masa con energía cinética (AF) hacia el fulcro. Se observa que la distancia entre F y AF es menor que la distancia entre F y BF. De este modo, el desequilibrio energético entre A y B provoca en este caso un desequilibrio inercial equivalente, es decir, en la física relativista la inercia de un cuerpo sí depende de su contenido energético y la respuesta a la pregunta de Einstein en este caso es positiva.
FIGURA 4. Transformación de Lorentz para la figura 2. Las líneas horizontales ahora se inclinan. En la balanza espaciotemporal (barra gruesa AF-BF) se observa que el fulcro F está más cerca de la masa A que de B.
Esta conclusión geométrica de tipo cualitativo permite presentar la equivalencia entre masa y energía de una forma visual y responder a una pregunta capital en el devenir de la historia de la ciencia.
Asimismo, como se puede ver en las figuras 3 y 4, se reconocen las transformaciones de Galileo y de Lorentz como diferentes debido a la inclinación de la base de la celda unidad en la transformación de Lorentz, mientras que en la de Galileo dicha base permanece inmutable.
Además, las características geométricas de la transformación realizada permiten sobrepasar este enfoque cualita- tivo para obtener la forma exacta de la equivalencia entre masa y energía, o incluso resolver una situación mucho más compleja como es el choque elástico (Prado et al., 2018).
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AGRADECIMIENTOS
Prado y Domínguez, agradecen la financiación a FEDER/Ministerio de Ciencia, Innovación y Universidades–Agencia Estatal de Investigación del Proyecto ESPIGA (“Promoviendo el Desarrollo del Pensamiento Crítico y de las dimensio- nes de Implicación Cognitiva y Emocional de los desempeños Epistémicos en las Clases de Ciencias en la Era de la Posverdad”), referencia PGC2018-096581-B-C22) y del proyecto EAMARE-STEAM (EDU2017-84979-R). Area agradece la ayuda de los proyectos ED431B 2018/57, de la Consellería de Educación, Universidad y Formación Profesional (Xunta de Galicia) y FIS2017-83762-P, del Ministerio de Economía, Industria y Competitividad. Paredes agradece la ayuda de los proyectos MTM2016–75140–P, de la Agencia Estatal de Investigación, cofinanciado por fondos FEDER, y R 2016/022, de la Xunta de Galicia.
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