Difracción de la luz desde un enfoque cuántico: una propuesta para la escuela secundaria

Light diffraction from a quantum approach: a proposal for secondary school

María de los Angeles Fanaro1,2 y Marcelo Arlego1,2,3

1Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y T ecnología (NIECyT) de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires. Tandil. Argentina.

2Consejo Nacional de Investigaciones Técnicas y Científicas (CONICET). 3Instituto de Física La Plata (IFLP).

E-mail: mfanaro@exa.unicen.edu.ar

(Recibido el 4 de abril de 2018; aceptado el 28 de mayo de 2018)

Resumen

El fenómeno de la difracción de la luz puede ser ab ordado desde diferentes enfoques, dependiendo si se busca describir los resultados o el proceso de formación de esos resultados; cada uno de ellos con un modelo que permite describirlo y predecir sus resultados. En este trabajo proponemos una forma de abordar la difracción de la luz desde la perspectiva cuántica que adoptael enfoque de Feynman, como referencia para volverlo en- señable a estudiantes de la escuela secundaria. Aunque el método original de laintegral de camino de Feyn- man es complejo, es posible su aplicación a la expe riencia de la difracción de la luz de una manera se ncilla, a partir de consideraciones geométrico-vectoriales, como se presenta en la primera parte de este trabajo. En la segunda parte del trabajo, presentamos el resultado del trabajo de transposición didáctica en el sentido de Chevallard, como una propuesta para hacer surgir los conceptos cuánticos de probabilidad y superposición en estudiantes de último año de la escuela secundaria.Nuestra propuesta didáctica se fundamenta en la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud, motivo por lo cual el diseño de las situaciones resulta clave para la conceptualización de los estudiantes. Desde esta pe rspectiva, presentamos las situaciones y las simulaciones realizadas con planilla de cálculo, como herramient de cálculo y visualización.

Palabras clave: Difracción de la luz; Enfoque cuántico; Secuencia didáctica; Escuela secundaria.

Abstract

Light diffraction phenomenon can be approached from different viewpoints depending on whether one seeks to describe the final result or the process of forming of that result; each of them with a model that allows to describe and predict the phenomenon. In this paper we propose a way to approach the light diffraction from the quantum perspective that adopts the Feynman approach, as a reference to make it teachable to high school students. Although the original method "Feynman's Path Integral" is complex, it is possible to apply it to the experiment of light diffraction in a simple way, based on geometrical-vectorial considerations, as is presented in the first part of this work. In the second part, we present the result of the work of didactic transposition in the sense of Chevallard, as a proposal to bring up the quantum concepts of probability and superposition. Our didactic proposal is based on the Theory of Conceptual Fields of Vergnaud, reason why the design of the sit- uations is the key for the conceptualization of the students. From this perspective, we present and describe the situations and simulations made with spreadsheets, as a calculation and visualization tool.

Keywords: Light diffraction; Quantum approach, Didactic sequence, Secondary school.

I. INTRODUCCIÓN

Este trabajo es la continuación de una investigació n en la cual nos ocupamos desde hace varios años de estudiar los procesos de enseñanza y aprendizaje de aspectos básicos de mecánica cuántica para estudian- tes de la escuela secundaria. Estos trabajos se realizaron desde el enfoque de Feynman para la mecánica cuántica, conocido técnicamente comointegral de camino (Feynman y Hibbs, 1965). Este enfoque co- menzó a utilizarse con la propuesta de Taylor y otr os (1998), que se basó en el reconocido texto divul ga- tivo de Feynman (1985) QED: The Strange Story of Light and Matter. El método de laintegral de camino

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es una herramienta compleja, indispensable en áreasavanzadas de la física como la Teoría Cuántica de Campos. Sin embargo, la esencia del método puede ser resaltada a través de consideraciones geométricas con vectores y operaciones matemáticas que son accesibles a los estudiantes. De esta forma, el método resulta apropiado para calcular la probabilidad de ocurrencia de distintos eventos con luz y con electro- nes, es decir, para introducir a los estudiantes en nociones cuánticas fundamentales, como probabilida y superposición.

Aprovechando el potencial didáctico que presenta elenfoque de Feynman, varios trabajos lo han utili- zado para enseñar aspectos básicos de mecánica cuántica. Así, los trabajos pioneros en esta línea fueron los de Dowrick (1997), Hanc y Tuleja (2005), Ogborn y otros (2006), Dobson y otros (2006), etc. En los últimos años, los trabajos de Malgieri y otros (2014, 2015, 2017) también utilizan este enfoque, incorpo- rando simulaciones realizadas con el software GeoGebra. Nuestros trabajos previos basados en este enfo- que, esencialmente se ocuparon del diseño de dos secuencias didácticas y el análisis de su implementación en cursos reales de la escuela secun daria (Fanaro y Otero, 2008; Fanaro, Arlego y Otero, 2012, 2014; Fanaro, Otero y Arlego, 2012a, 2012b; Fanaro, Elgue y Otero, 2016; Fanaro, Arlego, Elgue y Otero,2017). En una de las secuencias nos ocupamos de estudiar el carácter cuántico de los electronesy en la otra, desde un enfoque cuántico se abordaronlas experiencias con luz de reflexión, refracción y experiencia de la doble rendija, dejando para un estudio posterior el fenómeno de la difracción, que a bor- damos en este trabajo. A diferencia de los trabajos antes mencionados, nuestras secuencias didácticasno tienen la intensión, por el momento, de enfrentar a los estudiantes a cuestiones ontológicas acerca de qué es la luz, los fotones, etc., sino se dirigen a los conceptos y principios básicos y centrales de mecánica cuántica como superposición, probabilidad, y transición clásica-cuántica.

En particular, el fenómeno cuántico de la difracción que nos interesa desarrollar es susceptible de ser considerado desde enfoques alternativos: para electrones desde de la mecánica ondulatoria, con la ecua- ción de Schrodinger (Gitin, 2013; Michelini y otros , 2003), así como también desde el enfoque de lainte- gral de camino (Feynman y Hibbs 1965). También Wua (2010) proponela difracción de la luz desde la teoría cuántica. Respecto a las investigaciones queabordan el problema de la enseñanza y el aprendizaje de la difracción, se encuentran los trabajos de Col in y Viennot (2001), Ramil y otros (2007), Wosilait y otros (1999) y Maurines (2010) aunque abordan la difracción desde un punto de vista ondulatorio clásico. En cambio, no se encuentran trabajos de investigación en el área de la enseñanza de las ciencias que pro- pongan estudiar la difracción de la luz desde un en foque cuántico, basado en la visión de Feynman.

El enfoque didáctico de esta investigación se fundamenta en el concepto de transposición didáctica, esto es, la necesidad de transformar el conocimiento físico para volverlo enseñable, que tenga sentido para el estudiante (Chevallard, 1997). Así, se realiza la transposición didáctica del método deintegrales de camino de Feynman, que involucra cálculo de integrales, yse lo adapta y contextualiza para los estu- diantes de la escuela secundaria, reemplazando las integrales por sumas de vectores. Por otro lado, se lo contextualiza para que tenga sentido para los estudiantes, proponiéndose como método para calcular las probabilidades de detección de luz en la experienci a de la difracción. Desde la teoría de los campos c on- ceptuales, el proceso de identificar los conceptos, sus propiedades y relaciones con otros conceptos, que es definido por Vergnaud como conceptualización (Ve rgnaud, 1990) se da a partir de la interacción de l os estudiantes con las situaciones. Se considera a este proceso de conceptualización como la base del des a- rrollo cognitivo, con lo cual el diseño de las situaciones para conceptualizar aspectos centrales de la mecánica cuántica, es objeto de estudio y análisisdel presente trabajo.

Un aspecto destacado de nuestro trabajo es la ausencia de un abordaje basado en la dualidad onda- partícula. La razón de ello es que ambos conceptos son idealizaciones del mundo macroscópico que, si bien pueden servir de anclaje a conceptos nuevos, terminan siendo un problema a la hora de describir algo esencialmente nuevo como la materia o la luz a nivel cuántico. Esto genera discusiones de experto que carecen de sentido (afortunadamente) para los estudiantes, que no cuentan con la información necesaria para caer en las sutilezas que encierra la “dualida d” onda partícula.

Por lo contrario, nuestra propuesta se basa en un modelo codificado en un conjunto de reglas que, si bien son abstractas, son al mismo tiempo operativas. El modelo no asume qué“es” la luz, si onda o part í- cula, lo cual es una pregunta de carácter ontológico que va mucho más allá del propósito del trabajoEl. modelo propone una forma de determinar la probabilidad de detectar luz en determinado lugar sabiendo que ha sido emitida en algún otro. Como consecuencia de estas reglas adaptadas a la matemática disponi- ble en escuela secundaria, el formalismo de Feynman deviene en un conjunto de reglas que el experto reconoce como el método de fasores del electromagnetismo clásico, pero cuya interpretación física es completamente diferente. De ningún modo nuestro objetivo en la propuesta es generar esta asociación.

Por supuesto que existe, que es rica y se relaciona con la forma en que los modelos de la electrodinámica cuántica están ligados a la descripción de ondas sde el punto de vista de las ecuaciones de Maxwell. Esta discusión y análisis carece de sentido en el contexto de la propuesta didáctica presentada en est trabajo.

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II. EL FENÓMENO DE LA DIFRACCIÓN DE LA LUZ A DIFERE NTES DE ESCALAS

A. El fenómeno de la difracción de la luz: el resul tado

Cuando un haz de luz monocromática incide en una rendija fina y es detectada en una pantalla colocada detrás de la rendija, en ésta se forma un patrón característico que no es posible describir desde la ó ptica geométrica, conocido como patrón de difracción. Est a distribución se caracteriza por presentar una zon a central muy brillante ubicada en el centro de la rendija proyectada en la pantalla (denominado máximo central), y a ambos lados de la pantalla, zonas de luz de menor intensidad, denominados máximos secun- darios. Este patrón donde la luz se distribuye form ando zonas que no se corresponde simplemente con la propagación rectilínea, no se genera sólo en esta e xperiencia sino también en aquellos casos en los cuales la luz interacciona con un borde, como en los bordes de una hoja de afeitar, etc. La óptica ondulatori a propone un modelo para explicar la forma de este patrón: la construcción de Huygens para la propagació n de ondas. Este modelo es comúnmente presentado en los libros de texto, no lo desarrollaremos aquí.

B. El fenómeno de la difracción de la luz: el proce so

Supongamos ahora que se realiza la experiencia, pero ahora atenuando la luz (por ejemplo colocando filtros sucesivos desde la fuente hasta la rendija) y se coloca un sistema más sensible de detección. Su- pongamos que a una gran distancia de la rendija colocamos una pantalla que detecta la llegada de la luz. Bajo estas condiciones, notaremos que las detecciones en la pantalla son individuales, y que si bien al principio parecen ser aleatorias, al cabo de un tiempo en ciertos lugares de la pantalla se encuentran más detecciones que en otros y en la pantalla se comienza a notar lugares donde estas detecciones están más concentradas y lugares donde hay muy pocas concentraciones, formando así, “franjas” de concentración. Es decir, en ciertos lugares será más probable quehaya detecciones de luz, mientras que en otros lugares, dada la escasa cantidad de detecciones, diremos que es poco probable detectar luz. Entonces nos pregun- tamos ¿cuál es la probabilidad de detectar luz en cierto lugar, por ejemplo en un punto Q, que se encuen- tra a cierta distancia (x) del centro de la pantalla?

Los resultados son inesperados desde un punto de vista macroscópico, y los modelos provistos por la física clásica (tanto desde la óptica ondulatoria como la geométrica) no logran dar cuenta de los resulta- dos, por lo cual se requiere un nuevo modelo que los describa. Para esta escala un modelo apropiado es el modelo de integral de camino de Feynman, que desarrollaremos en la subsección s iguiente.

C. El modelo de Caminos Múltiples de Feynman aplicado a la difracción de la luz

Analizaremos la experiencia en que un haz de luz monocromática de muy baja intensidad se emite desde al fuente S e incide en una rendija de ancho (a) como muestra la figura 1 (arriba). Para ello utilizaremos una adap- tación del método original de la integral de camino que denominaremos considerar todas las alternativas.

FIGURA 1. Arriba: esquema de la disposición experimental de la difracción de la luz. Se representa una fuente d e luz de baja intensidad muy alejada de la rendija (no estáen escala). Nótese que se considera que se subdivid e la ranura en N franjas iguales y se elige un camino por el centro de cada una, con lo cual la distancia entre dos caminos alternativos consecutivos es a/N. Abajo: dos caminos consecutivos donde se aprecia la diferencia de longitud de camino.

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Describiremos brevemente laa adaptación del método de Feynman para calcular laa probabilidad. Una versión más detallada de la adaptación puede consultarse por ejemplo en Fanaro y otros (2014). Este métodopermite calcular la probabilidad de detección para cada ubicación del punto Q, es decir P(x). El método de Feynman indica en primer lugar, considera todos los caminos posibles que conectan S con Q. Luego, para cada camino considderado, se debe asignar un vector unitario de tal forma que el ángulo fr- mado por el vector y el eje de abscisas, cuando se representa al vector en un sistema de ejes cartesianos, es proporcional al tiempo para irr de S a Q. Considerando que la velocidad de la luz es constante (c) para un medio homogéneo como el considerado aquí, la fase depende entonces del tipo de luz1 y de la longitud de cada camino (L). Poor lo tanto, el vector se expresa en coordenadas polaares (módulo; dire c- ción) como:

vasociado= 1 ;	ω		L	(1)
	c

Luego debemos sumar cada vector asociado a cada camino alternativo y, finalmente, elevar al cuadra- do el módulo del vector suma obtenido para encontra r la probabilidad. Esto se connsigue sumando los vectores asociados a cada caminno posible que conecte la fuente S con el lugar de deetección Q. Una vez realizada la suma y elevado su módulo al cuadrado , obtendremos la probabilidad. Es claro que, en este caso, el valor que obtendremos no es una probabilidad absoluta, ya que no está noormalizada, sino má bien una predicción de “frecuencia relativa” del ev ento.

Nótese que el método de Feyynman indica que la totalidad de los caminos posibless deben ser conside- rados en el cálculo de la probabilidad,aun los más extraños, y no solamente los más simples directosy como los señalados en la figura 1. Sin embargo, el método resulta operativo, en est caso, ya que pode- mos aproximar esta suma infinitta a un subconjunto de caminos igualmente espaciadoos y cercanos al ca- mino directo que conecta S con Q. Esto se debe a que las contribuciones de caminos arrbitrarios –como los que estén alejados-tienden a annularse estadísticamente, entonces no contribuyen a la suma. Nótese que esta aproximación es posible porque podemos distinguir e ntre caminos alejados y cercanos, es decir, hay “espacio” para dar lugar a una caancelación estadíst ica. Aunque la suma se realiza coonsiderando sólo lo s caminos directos, esta aproximaación no solo reproduce los resultados que se obtieneen desde un modelo ondulatorio para la luz, sino tammbién aspectos propiamente cuánticos,como el caráácter discreto de los eventos de detección en la pantallla. En este aspect o radica su principal potencial didááctico: permitea los estudiantes acercarse a la mecánica cuántica con lamatemática que disponen en ese nivel escolar, conla posibilidad de otorgar un sentido a los conceptos de superposición y probabilidad.

Entonces, para encontrar un a expresión de P(x) cons ideraremos un número finnito de caminos (N) igualmente espaciados que van de S a Q, y haremos la suma de los vectores unitarioss correspondientes a cada camino de forma geométriica, como se muestra enla figura 2. Llamaremos ϕ a la diferencia de fase entre dos vectores consecutivos, la cual es constante debido a que los caminos están igualmente espaca- dos. De esta forma, al realizar la suma geométricase construye un polígono regular de N lados.

FIGURA 2. La suma de algunos camminos alternativos (N=7) con diferencia de fase constante e igual a ϕ. Nótese que de la forma que se configuró la geometría, ϕ es el ángulo quevforma con el eje de abscisas, y tambi én será la diferencia de fase entre dos vectores consecutivos. Por eso, denotaremos la diferencia de fase entre dos vectores simplemente como ϕ.

1En un modelo ondulatorio, esto, naturalmmente, se refiere a la frecuencia angular, pero aquí preferimos no haceer referencia a términos de este modelo, ya que en un modelo cuántico de caminos alternativos diremos que se trata de una magnitud de caracteriza cada tipo de luz.

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tada en la pantalla. Esto es natural, puesto que nuestro mecanismo para aprender privilegia la asimilación de lo nuevo con base en lo que ya conocemos. Esto se reconoce desde teorías de distintos campos, tanto desde la psicología cognitiva como de las neurociencias. No obstante, hemos tomado la decisión de no hacer referencia al concepto de impacto, de no recuperar y enfatizar esta imagen de “choque” porque es to remite directamente al impacto o choque de partículas, y entonces se reforzaría la idea de la luz confor- mada por partículas, esas partículas de luz, que en general son comúnmente (y erróneamente) el significa- do asignado a los fotones. De hecho, un fotón de un a longitud de onda dada es un objeto totalmente deslocalizado y muy poco asociable a la idea de partícula. La emergencia del carácter de partícula enel sentido de objeto localizado espacialmente solo se logra superponiendo fotones de diferentes longitudes de onda (y ya comentamos nuestra postura acerca de la no referencia al concepto de fotón en esta secue n- cia). Por lo tanto, la asociación fotón con partícu la en un sentido ordinario es cuanto menos difusa. Como queremos evitar que los estudiantes realicen esta asociación –inadecuada- es que preferimos referirnos al concepto de evento de detección de la luz. De esta forma, evitamos enfatizar ante los estudiantes la idea que esa “luz”, que viene e interacciona con la pant alla, está formada por partículas.

La expresión de P( x) hallada desde este enfoque es análoga a la que seobtiene al aplicar el principio de Huygens para la difracción de Franhoufer (Hetch, 2000, p. 450), aunque el significado conceptual es radicalmente distinto: en lugar de indicar la intensidad de la luz como en el tratamiento habitual ondulato- rio para la luz, en nuestro caso se obtiene una expresión de la probabilidad de detección de la luz. A unque el modelo matemático en ambos casos es similar, laexpresión que se obtiene con el método de considerar los caminos alternativos y su interpretación probabilística es esencialment e distinta. Aquí, la idea es utili- zar el mismo modelo para realizar tanto la descripción cuántica de las detecciones discretas (y el patrón que forman) como la descripción de la formación de los máximos y mínimos del experimento utilizando luz monocromática sin atenuar.

Es de gran potencial didáctico realizar un análisisgeométrico-vectorial, vinculando simultáneamente la forma de la distribución de probabilidad P( x) –antes presentada-con la suma resultante de los v ectores asociados a los caminos, para cada lugar de la pantalla (x), como lo muestra la figura 3:

FIGURA 3. Se consideran algunos caminos (N=7) y la suma de los vectores asociados. (a) La probabilidad es máxi- ma en el centro x = 0, (b) un punto sobre la pantalla a una pequeña distancia del centro, (c) el primer mínimo de probabilidady (d)el primer máximo de probabilidad de detectar luz.

En el centro de la pantalla (2 = 0) la función P( x) presenta una indeterminación. Interpretamos geomé- tricamente esto diciendo que en este punto la diferencia de fase entre los vectores asociados es nula, puesto que todos los vectores están alineados, es decir (= 0 ). Entonces los N vectores suman constructivamente, dando una probabilidad relativa de N2 (Fig. 3 (a)). En la experiencia, reconocemos este punto como el lugar donde efectivamente hay más detecciones de luz (seacumula gran cantidad de detecciones).

A medida que seleccionamos distintos valores de 2que se alejen del centro de la pantalla, el cociente de la expresión (4) comienza a disminuir, y el prim er mínimo se alcanza cuando el numerador se anula. Siguiendo el procedimiento matemático usual de encontrar los extremos de una función, podremos encon- trar los máximos y mínimos, sin embargo, en lo quesigue proponemos realizar la búsqueda de forma directamente geométrica. Para localizar el mínimo,la diferencia de fase entre el primer vector asociado y el último debe ser 2π, para que se produzca la cancelación de los vector es y se forme la figura de un polí- gono cerrado (Fig. 3.(b)). Es decir,

. = 29		(5)
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Cabe mencionar también se obtiene (5) desde la expresión (2), pero aquí nuestro razonamiento es ge- ométrico, no funcional. Esta expresión, común en los libros de texto universitarios cuando tratan los pro- blemas de máximos y mínimos en la difracción (por ejemplo Feynman, Leighton y Sands, 1987, pp. 30-2) tiene la ventaja de la simplicidad y el potencial necesario para predecir la localización del primer m ínimo (y los sucesivos con su expresión general), porque se basa en un razonamiento geométrico y gráfico muy sencillo. Sin embargo, nuestra postura didáctica, basada en enfatizar el sentido para los estudiantes, se debe realizar una conexión más concreta y directa entre la diferencia de fase y los parámetros del experi- mento. Para ello, se deben combinar las ecuaciones (4) y (5):

., 29 (...: . 2 = 

Desde la cual podemos ubicar el primer mínimo de la curva de P(x) en la posición:

2 = ;16	(6)
/.0

De esta forma, sin apelar a la búsqueda de extremosde la función (2) como usualmente se hace desde el análisis funcional, es posible que los estudiantes de la escuela secundaria realicen un análisis desde el marco geométrico-vectorial, considerando de forma aproximada que el máximo secundario se encontrará en algún valor intermedio de los dos ceros, como se propone a continuación. De esta forma, es posible que con herramientas matemáticas al alcance de losestudiantes, encontrar los lugares notables de la gráfi- ca que describan la experiencia, donde la detección de luz es probable (aunque menor que en el centro), como se muestra en los puntos de la figura 3 (c) y 3 (d).

Como se puede notar, la figura 3 ofrece una gran riqueza didáctica con el juego de los vectores que forman polígonos que se cierran o líneas rectas, permitiendo a los estudiantes reconstruir la estructura que se nota en el experimento de la difracción, como mo stramos a continuación.

III. SITUACIÓN DIDÁCTICA PROPUESTA

Nuestra propuesta es plantear una situación que com ience con la experiencia de hacer incidir luz mono- cromática (como un láser) por una rendija delgada,y analizar lo que se obtiene en una pantalla que detec- ta luz, detrás de la rendija. Como parte del trabajo de la transposición didáctica, donde se busca plantear un problema con sentido para los estudiantes, proponemos inicialmente que los estudiantes predigan los resultados de la experiencia, sólo con imaginarla. Esta metodología, conocida como “experimentos men- tales” es reconocida en varias investigaciones (Cle ment, 2009; Gilbert y Reiner, 2000). Desde nuestro marco teórico la predicción tiene importancia porqu e permite que ellos expliciten sus ideas y pongan en acto sus invariantes operatorios, luego de realizar la experiencia en aula de clases, podrán corrobora o refutar sus predicciones.

Después, proponemos la realización del experimento con luz láser y una placa con una rendija finas, que es sencillo de realizar en clase, y notar las franjas de luz, intercaladas con franjas sin luz. Luego, proponemos modificar la variable intensidad de la luz, volviéndola muy baja, y analizar los resultados. Realizar la experiencia en el aula, en esas condiciones, no es sencillo, ya que el sistema de detecció n de luz de muy baja intensidad requiere de cierta sofisticación (por ejemplo, una disposición de fotomulti pli- cadores en la pantalla colectora de luz, y filtros de atenuación de la intensidad de la luz). Una alte rnativa posible, entonces, es presentar a los estudiantes los resultados obtenidos al realizar la experiencia, me- diante fotografías o videos, disponibles en internet2. De esta forma, es posible notar las detecciones indi- viduales lo cual da lugar a la necesidad de plantear un nuevo marco, que incorpore el concepto de probabilidad y su cálculo.

Una vez que los estudiantes notan la forma de distribución discreta de las detecciones en la pared co- lectora según 2, (máxima concentración en el centro, y hacia ambos costados franjas de concentración), proponemos que reconstruyan la gráfica de la función de probabilidad relativa según la posición a partir del modelo de considerar todas las alternativas. La pregunta que se plantea a los estudiantes en este caso es ¿Cómo describir la detección de luz para distint os puntos de la pantalla que se hallan a una distancia

2del centro? Para esto, ellos deberán considerar queel método de Feynman establece que a cada camino

2Por ejemplo, en el sitio de la Sociedad Suiza de Física se pueden encontrar imágenes reales, así comofilmaciones de la experiencia de

la Doble Rendija. En este caso, estas imágenes resultan útiles para ilustrar los resultados <http://www.sps.ch/fr/articles/progresses/wave_particle_duality_of_light_for_the_classroom_13/>

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debe asociarse un vector unitariio cuyo ángulo con el eje de abscisas es proporcional a la longitud del camino que conecta la emisión con la detección de la luz (o el tiempo que toma la luz entre que es emitida y detectada). En esta parte se debe plantear a los estudiantes la necesidad de analizar la diferencia de fase entre dos vectores asociados a dos caminos consecutivos, como lo hicimos antes. Debemos, entonces, partir de la geometría del probleema, considerando que buscamos una expresión para el v alor de x para el cual la probabilidad de detección en la pantalla se a máxima o mínima, acorde a las franjas de luz y oscu- ridad ya notadas en el experimennto. Una vez que se logra establecer la dependencia dee x con la diferencia de fase de los vectores ( ), el problema admite una exploración geométrica para connocer el valor de ,

como lo hicimos en la sección anterior.

Para el trabajo con los estudiiantes, proponemos el siguiente análisis geométrico simple qules permi- tiría realizar una exploración de los distintos valores de probabi lidad según el lugar de la pantalla de de- tección , mediante la aproximación de los valores de x para los cuales la suma sea m áxima o se reduzca hasta alcanzar nuevos valores m áximos y mínimos.Con una herramienta simple y dispponible en cualquier computador fijo o portátil,commo la planilla de cálculo, ponemos a disposición unaa simulación donde programamos que se calculen los vectores asociados a los caminos y su suma, para caada punto de la pan- talla de detección. Esta herramienta resulta versátil puesto que realiza el cálculo de los caminos, los vec- tores asociados a cada uno, y loos muestra en un gráfico, colocados uno a continuaciión del otro, lo cua l permite visualizar el vector suma. La planilla de cálculo solicita ingresar la posición en la cual se quier e conocer el valor de la probabilidad de detección (p unto Q), fijando inicialmente el restto de los parámetros (el ancho de la rendija a, la cantidad de caminos, el tipo de luz () y la distancia a la pantalla D).

Para ilustrar el funcionamiento de la planilla de cálculo, en lafigura 4 se muestra una pantalla de sali- da al seleccionar la posición del punto Q en el cen tro de la pantalla (x=0), fijándoseN=100 caminos posi- bles, utilizando una luz predetterminada, y una abertura de rendija también fija (en este caso ,  1.10=>? . Por cuestiones de disseño, el diagrama que se muestra en la parte superior izquierda de la figu- ra es estático a modo de esquemma, e decir no cambia visualmente la posición del puntto Q aunque numé- ricamente se seleccione un valorr distinto al inicial. La planilla calcula los ángulos correspondientespara cada uno de los N=100 caminos asociados (recuadro azul en la parte inferior de la immagen), y los dibuja en el plano cartesiano uno a conntinuación del otro, de tal forma que la suma resulta de unir el inicio del primer vector, con el extremo finnal del último (parte derecha de la figura). En este casso, los vectores uni- tarios asociados son prácticameente colineales (no tienen diferencia de fase apreciable entre sí), dando una suma máxima. Por lo tanto,la máxima probabilidad de detectar luz en el centrode laa pantalla, obtenién- dose en este caso una frecuenciia de ocurrencia relativa resultante de aproximadameente FR=10000 (ver recuadro debajo del gráfico de la suma vectorial).Queremos resaltar que en este caso con la planilla de cálculo se obtiene el resultado de lafigura 3 (a).

FIGURA 4. Salida de la planilla de cálculo que simula la detección de luz en el punto Q (variable), para un haz de láser color rojo, seleccionando N=100 camminos posibles. Arriba a la izquierda se presenta un esquema de la situación, y debajo de él algunos vectoresasociados, con el cálculo de su respectivo ánguloA. la derecha, se presenta la suma geométrica de todos los vectores asociados. Se preseenta debajo de la suma, el valor de la suma, y de la frecuencia relativa (FR).

La propuesta didáctica,en téérminos generales, se enfoca en ofrecerla oportunidad de que los estudian- tes exploren có mo cambia la proobabilidad (la frecuencia relativa FR en términos práácticos con la planill de cálculo) según el punto de la pantalla. Esta decisión didáctica y las que subyacen a toda la propuesta se basan en la importancia de coloc ar a los estudiantes en las situaciones apropiadas, que permitan que emer-

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jan los conceptos buscados, ya que sólo a través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver, un concepto adquiere sentido (Otero y otros, 2014). Así, para localizar en quué lugar de la pana- lla la probabilidad de detección será nula, proponemos que los estudiantes analicen la suma de los vecto- res, considerando su diferencia de fase. Es decir, proponemos localizar los puntos de la figura 3 (b). Por ejemplo, podemos orientar a los estudiantes a resolver el problema de encontrar en quué caso los vectores suman cero, es decir encontrar los valores de diferencia de fase con los cuales se connstruye un polígono regular, animándolos a razonar primeramente con unpolígono regular sencillo (por ejemplo que los vec- tores formen un cuadrado (N=4)), o con un pentágono(N=5)). Así, en el caso sencillo de N=5 obtenemos que los vectores forman un políggono cerrado cuando5.  29 , con lo cual 3 1,26 radianes. Es posible luego generalizar y abordar la id ea que el polígono regular formado por los vectores se cierra (y entonces la suma resulta nula) cuando .  29, que es la expresión (6).

La simulación propone la connsideración de N=100 cam inos, con lo cual los estuddiantes pueden esta- blecer sin dificultad el valor de la diferencia de fase de los vectores, obteniendo en estee caso:

3 0,063

Para ingresar el valor de x enn la simulación , y corroborar que cuando los N=100 vectores tienen esta diferencia de fase la probabilidad da un valor mínimo, notando como estos vectores forman un polígono cerrado, los estudiantes deben utilizar los valores sugeridos en la simulación para el ancho de rendija, la distancia a la pantalla y el tipo de luz utilizada, y combinarlos con el valor de reciénn obtenido, mediante la expresión (4). Así se encuentraa que el primer mínimo se localiza en

2GH  3 3,5.10=B?

El valor del segundo mínimo se encuentra en el lugar donde los vectores se colocaan de una forma que habiendo completado un giro coompleto, vuelven a formar otro polígono superpuestoo al anterior, con la mitad de los lados del primer poolígono (o, cuando los vectores formen dos círculos completos). En este caso, con un razonamiento aná logo al anterior, no debería ser complicado paralos estudiantes concluir que. = 49 , lo cual, como antes hicimos si combinamos con la expresión (4) obtene mos

49 .,

  (. .. : .2

Y entonces, la expresión que corresponde al segundo mínimo será

2 3	I;.1.6	(7)
/.0

2 3 2.2GH 

Reemplazando los valores coorrespondientes, encontramos que el segundo máximo corresponde al valor

2GH  3 7.10=B?

Al reemplazar estos valores en la simulación, se ob tienen los resultados que se pressentan en la figura 5 (izquierda y derecha respectivammente, para cada valor de x para el cual habrá un mínnimo de probabilidad de detección). Como se puede notar, la suma de los vectores es casi nula, con lo cuual también lo es la probabilidad de detección de luz en ese punto.

FIGURA 5. Salida de la planilla de c álculo seleccionando dosposiciones distintas del detector. Izq.: x  3,5.10=Bm; Der.:

x  7.10=Bm.

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El primer máximo secundario se puede encontrar haciendo varia la posición entre los dos mínimos, e incluso los estudiantes podrán encontrar que en est caso, se encuentra en el valor medio entre los dos mínimos calculados antes, obteniendo así

2áK.  = 5,25.10=B?

Al colocar este valor en la simulación, se obtiene el resultado que se muestra en la figura 6. Como se puede apreciar, en este punto el vector suma tiene mayor módulo que en los punto s anteriores (en los mínimos). Es decir es no nula, p ero menor que en el centro de la pantalla. Este caso see corresponde con la situación presentada en la fig . 3(d).

FIGURA 6. Salida de la planilla de cálculo seleccionando comoposición del detector, xmax(2)=5,25.10-3m. Se puede notar en el gráfico la disposición de los vectores formando un nuevo polígono superpuesto al priimero

Como se puede notar, la plannilla de cálculo constituye una herramienta para que los estudiantes pue- dan construir la distribución de probabilidad según la distancia al centro de la pantallaa, similar a la que se presenta en la figura 3, sin necessidad de partir de la expresión (2 ), que no resulta matemáticamente fami- liar a los estudiantes. Este esfueerzo por contextualizar los saberes físicos (tal cual son planteados en la física) al contexto escolar, es prooducto de nuestro trabajo en la transposición didáctica y en la idea que la conceptualización se produce cuuando proponemos a los estudiantes situaciones que permiten a los ele- mentos cognitivos preexistentes en los estudiantes (esquemas), interactuar con los prooblemas y preguntas de cada situación (Vergnaud, 1990). Como se trata de una experiencia sencilla de re alizar en el aula de clases, proponemos que los est udiantes la realicen utilizando una luz monocromáttica (por ejemplo un láser) y puedan corroborar experimentalmente el modelo propuesto aquí. Esto constituye un buen punto de partida para reconocer el poteencial de los modelos para explicar las experiencias y del valor de la mo- delización en física.

Una vez presentado y aplicado el modelo de Feynman, es necesario volver a la experiencia con luz láser realizada en clase, comparrando los resultadosde ambas experiencias.

IV. CONCLUSIONES

En este trabajo se presenta un esstudio del fenómeno de la difracción de la luz desde unn enfoque cuántico, alternativo al usual abordaje o ndulatorio clásico. La característica cuántica que see resalta aquí es la consideración de caminos alterna tivos para el cálculo de probabilidad, esto es la supeerposición,propia del modelo de cuántico para la lu, y que se manifiesta a través del modelo de Feynman presentado. Realizamos un trabajo de transposición didáctica que permita a los estudiantes reconsstruir la posición de los máximos y mínimos de la probabilidad de detectar luz, utilizando los conceptos dee superposición y de probabilidad de detección, a tr avés de nociones geométricas que resultan intuitivaas y apelando a las representaciones gráficas de la situación para colaborar en la conceptualización buscada.

Se trata de una primera fase en la construcción de un a secuencia didácticapara abordar la difracción de la luz desde un enfoque exclusivamente cuántico: ol que sigue es la construcción secuencial de cada situación, cada problema que se planteará a los estudiantes, contextualizando también al grupo de clase en el cual se implementará,por ejemmplo su familiaridad con los vectores, con la geometríía, etc. Por ejemplo, este abordaje de la difracción tammbién puede utilizarse en los casos en que los estudianntes ya realizaron su estudio desde el enfoque clásicco (óptica ondulatoria), ya que los resultados que se obtienen con ambos enfoques son consistentes. Esto permite tratar con los estudiantes la idea de que la físicca propone distintos

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Difracción de la luz desde un enfoque cuántico: una propuesta para la escuela secundaria

modelos para explicar los fenómenos, así como anali zar los alcances, ventajas y desventajas de cada uno. Entonces es claro que las tareas y los problemas en este último caso serán ligeramente distintos de las situaciones que componen la secuencia para aquellos estudiantes que nunca antes estudiaron la difracción. Se trata de continuar investigando las distintas adaptaciones que se deben realizar a esta primera propues- ta, implementar cada una, y analizar el impacto en la conceptualización de los estudiantes que cada un a de ellas genera.

Aceptando que las experiencias de difracción e inte rferencia de la luz constituyen un soporte fenome- nológico sobre el cual introducir la discusión de l os principios de la cuántica (Stefanel, 1997), es natural desde este enfoque, plantear también elprincipio de incerteza de Heisenberg. En esta dirección, y con la misma simulación realizada en la planilla de cálculo y los razonamientos geométricos accesibles a los estudiantes, se orientan nuestras investigaciones para enseñar el principio de incerteza desde el enfoque de Feynman. Esto completará la secuencia de situaciones presentada, que, como se propuso desde un principio, es una secuencia abierta,que es necesario ajustar, ampliar y reformular, a medida que sea im- plementada y analizada.

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